2x²+3x-5≥0
Чтобы решить неравенство \(2x^2 + 3x - 5 \geq 0\), начнем с нахождения корней соответствующего квадратного уравнения \(2x^2 + 3x - 5 = 0\).
Для этого используем формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = -5\). Подставим значения:
\[ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 \]
Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня. Находим корни, используя формулу корней квадратного уравнения:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значение дискриминанта:
\[ x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 7}{4} \]
Теперь находим корни:
- \(x_1 = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1\)
- \(x_2 = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5\)
Таким образом, корни уравнения: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -2.5\).
Теперь определим, на каком интервале функция \(2x^2 + 3x - 5\) принимает значения, удовлетворяющие неравенству \(2x^2 + 3x - 5 \geq 0\).
Мы проверим знаки функции в интервалах:
- \(x < -2.5\)
- \(-2.5 < x < 1\)
- \(x > 1\)
Выберем тестовые точки:
Для \(x = -3\) (интервал \(x < -2.5\)): \[ 2(-3)^2 + 3(-3) - 5 = 18 - 9 - 5 = 4 \quad (\text{положительное значение}) \]
Для \(x = 0\) (интервал \(-2.5 < x < 1\)): \[ 2(0)^2 + 3(0) - 5 = -5 \quad (\text{отрицательное значение}) \]
Для \(x = 2\) (интервал \(x > 1\)): \[ 2(2)^2 + 3(2) - 5 = 8 + 6 - 5 = 9 \quad (\text{положительное значение}) \]
Таким образом, функция положительна на интервалах \(x < -2.5\) и \(x > 1\). Так как у нас есть также точки, где функция равна нулю, наши решения идут:
\[ x \in (-\infty, -2.5] \cup [1, +\infty) \]
В общем, ответ на неравенство \(2x^2 + 3x - 5 \geq 0\):
\[ x \in (-\infty, -2.5] \cup [1, +\infty) \]
