(5x+7)(x-2)<21x^2-11x+3

Чтобы решить неравенство \((5x + 7)(x - 2) < 21x^2 - 11x + 3\), сначала упростим его.

1. Раскроем скобки с левой стороны: \[ (5x + 7)(x - 2) = 5x^2 - 10x + 7x - 14 = 5x^2 - 3x - 14. \]

2. Теперь перепишем неравенство: \[ 5x^2 - 3x - 14 < 21x^2 - 11x + 3. \]

3. Переносим все термины в одну сторону: \[ 5x^2 - 3x - 14 - 21x^2 + 11x - 3 < 0, \] что упрощается до: \[ -16x^2 + 8x - 17 < 0. \] Умножаем на -1 и меняем знак неравенства: \[ 16x^2 - 8x + 17 > 0. \]

4. Теперь найдем дискриминант уравнения \(16x^2 - 8x + 17\): \[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 17 = 64 - 1088 = -1024. \]

5. Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение \(16x^2 - 8x + 17 = 0\) не имеет действительных корней. Это означает, что парабола открыта вверх и не пересекает ось \(x\).

6. Следовательно, выражение \(16x^2 - 8x + 17\) всегда положительно для всех \(x\).

Таким образом, неравенство \((5x + 7)(x - 2) < 21x^2 - 11x + 3\) выполняется для всех значений \(x\).