Докажите что функция y=x^2-3/x-1 возрастает на любом промежутке области определения
Чтобы доказать, что функция \( y = \frac{x^2 - 3}{x - 1} \) возрастает на любом промежутке своей области определения, сначала нужно определить область определения функции.
Определение области определения: Функция будет определена, если знаменатель не равен нулю. Таким образом, необходимо решить неравенство: \[ x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 \] Это означает, что область определения функции - это все действительные числа, кроме 1: \( D = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) \).
Нахождение производной: Теперь находим производную функции \( y \): \[ y = \frac{x^2 - 3}{x - 1} \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(x - 1)(2x) - (x^2 - 3)(1)}{(x - 1)^2} \] Упрощаем числитель: \[ y' = \frac{2x(x - 1) - (x^2 - 3)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2 + 3}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x + 3}{(x - 1)^2} \]
Анализ производной: Теперь исследуем знак производной \( y' \):
- Знаменатель \( (x - 1)^2 \) всегда положителен для \( x \neq 1 \).
- Проверим числитель \( x^2 - 2x + 3 \): Дискриминант этого квадратного уравнения равен: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 \] Так как дискриминант отрицателен, выражение \( x^2 - 2x + 3 \) не имеет корней и всегда положительно для всех действительных \( x \).
Таким образом, \( y' > 0 \) для всех \( x \in D \). Это значит, что функция \( y \) возрастает на каждом промежутке своей области определения.
В заключение, мы можем сказать: функция \( y = \frac{x^2 - 3}{x - 1} \) возрастает на любом промежутке своей области определения \( (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) \).
