в треугольнике ABC угол C равен 90 градусов,tg A= корень из 15. найдите cos B

В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, следовательно, треугольник прямоугольный. Используем соотношение между углами в прямоугольном треугольнике:

\[ A + B + C = 180^\circ \]

Так как угол C равен 90 градусов, получаем:

\[ A + B = 90^\circ \]

Это означает, что углы A и B — дополняющие друг друга. В частности, если A и B — углы в прямоугольном треугольнике, то:

\[ \cos B = \sin A \]

Также мы знаем, что:

\[ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \sqrt{15} \]

Для поиска \(\sin A\) и \(\cos A\) используем тождество:

\[ \tan^2 A + 1 = \sec^2 A \]

Применим его к нашему значению:

\[ \tan^2 A = 15 \implies \sec^2 A = 15 + 1 = 16 \]

Корень из \(\sec^2 A\) даёт:

\[ \sec A = 4 \implies \cos A = \frac{1}{\sec A} = \frac{1}{4} \]

Зная, что \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\):

\[ \sin^2 A + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 A + \frac{1}{16} = 1 \] \[ \sin^2 A = 1 - \frac{1}{16} = \frac{16}{16} - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \] \[ \sin A = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \]

Таким образом, мы можем найти \(\cos B\):

\[ \cos B = \sin A = \frac{\sqrt{15}}{4} \]

Ответ:

\[ \cos B = \frac{\sqrt{15}}{4} \]