4x(5-3x) = (x-1)(2-5x)
Решим уравнение \( 4x(5 - 3x) = (x - 1)(2 - 5x) \).
- Раскроем скобки с обеих сторон уравнения.
Слева: \[ 4x(5 - 3x) = 20x - 12x^2 \]
Справа: \[ (x - 1)(2 - 5x) = 2x - 5x^2 - 2 + 5x = -5x^2 + 7x - 2 \]
Теперь у нас есть: \[ 20x - 12x^2 = -5x^2 + 7x - 2 \]
Переносим все термины в одну сторону. Для этого добавим \( 5x^2 \) и вычтем \( 7x \) и \( 2 \) из обеих сторон: \[ 20x - 12x^2 + 5x^2 - 7x + 2 = 0 \] Это упрощается до: \[ -7x^2 + 13x + 2 = 0 \]
Умножим уравнение на -1 для упрощения: \[ 7x^2 - 13x - 2 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Он определяется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 7 \), \( b = -13 \), \( c = -2 \): \[ D = (-13)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-2) = 169 + 56 = 225 \]
Поскольку дискриминант положительный, у уравнения два различных корня, которые можно найти по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ x = \frac{13 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 7} = \frac{13 \pm 15}{14} \]
Находим корни: Первый корень: \[ x_1 = \frac{28}{14} = 2 \]
Второй корень: \[ x_2 = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7} \]
Таким образом, уравнение имеет два корня: \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -\frac{1}{7} \).
