1.10. движение тела описывает уравнение x (t) = 5 + 2•t + 0,3 T за какое время от начала движения скорость увеличится втрое? Какой путь пройдет тело за это время?
Для того чтобы решить эту задачу, давайте сначала проанализируем данное уравнение движения тела:
\[ x(t) = 5 + 2t + 0.3t^2 \]
Здесь \( x(t) \) — это положение тела в зависимости от времени \( t \).
- Найдем скорость тела. Скорость — это производная от перемещения по времени. Найдем производную от \( x(t) \):
\[ v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(5 + 2t + 0.3t^2) = 0 + 2 + 0.6t = 2 + 0.6t \]
- Установим условие для скорости. Мы хотим узнать, за какое время скорость увеличится втрое. Исходная скорость в момент времени \( t = 0 \):
\[ v(0) = 2 + 0.6 \cdot 0 = 2 \]
Увеличим ее втрое:
\[ 3v(0) = 3 \cdot 2 = 6 \]
Теперь установим уравнение:
\[ 2 + 0.6t = 6 \]
Решим это уравнение:
\[ 0.6t = 6 - 2 \] \[ 0.6t = 4 \] \[ t = \frac{4}{0.6} = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \text{ секунд} \]
- Найдем путь, пройденный телом за это время. Подставим найденное значение \( t = \frac{20}{3} \) в уравнение движения для нахождения пути:
\[ x\left(\frac{20}{3}\right) = 5 + 2\left(\frac{20}{3}\right) + 0.3\left(\frac{20}{3}\right)^2 \]
Выполним расчет по частям:
\[ x\left(\frac{20}{3}\right) = 5 + \frac{40}{3} + 0.3 \cdot \frac{400}{9} \]
Сначала найдем \( 0.3 \cdot \frac{400}{9} \):
\[ 0.3 \cdot \frac{400}{9} = \frac{120}{9} = \frac{40}{3} \]
Теперь подставим это значение в уравнение:
\[ x\left(\frac{20}{3}\right) = 5 + \frac{40}{3} + \frac{40}{3} = 5 + \frac{80}{3} \] Преобразуем 5 в доле с одинаковым знаменателем: \[ x\left(\frac{20}{3}\right) = \frac{15}{3} + \frac{80}{3} = \frac{95}{3} \approx 31.67 \text{ метров} \]
Таким образом, скорость тела увеличится втрое за примерно 6.67 секунд, а путь, пройденный телом за это время, составит примерно 31.67 метров.
