|x/2-5/4|=x-1

Чтобы решить уравнение \(|\frac{x}{2} - \frac{5}{4}| = x - 1\), начнем с разбиения на два случая из-за модуля.

Случай 1: \(\frac{x}{2} - \frac{5}{4} = x - 1\)

1. Преобразуем уравнение: \[ \frac{x}{2} - \frac{5}{4} = x - 1 \]

2. Переносим все члены с \(x\) на одну сторону: \[ \frac{x}{2} - x = -1 + \frac{5}{4} \]

3. Упрощаем левую сторону: \[ \frac{x}{2} - \frac{2x}{2} = -1 + \frac{5}{4} \] \[ -\frac{x}{2} = -1 + \frac{5}{4} \]

4. Приводим правую сторону к общему знаменателю: \[ -\frac{x}{2} = -\frac{4}{4} + \frac{5}{4} = \frac{1}{4} \]

5. Умножаем обе стороны на -2: \[ x = -\frac{1}{2} \]

Случай 2: \(\frac{x}{2} - \frac{5}{4} = -(x - 1)\)

1. Записываем уравнение: \[ \frac{x}{2} - \frac{5}{4} = -x + 1 \]

2. Переносим все члены с \(x\) на одну сторону: \[ \frac{x}{2} + x = 1 + \frac{5}{4} \] \[ \frac{x}{2} + \frac{2x}{2} = 1 + \frac{5}{4} \] \[ \frac{3x}{2} = 1 + \frac{5}{4} \]

3. Приводим правую сторону к общему знаменателю: \[ 1 = \frac{4}{4} \Rightarrow \frac{4}{4} + \frac{5}{4} = \frac{9}{4} \] Таким образом, получаем: \[ \frac{3x}{2} = \frac{9}{4} \]

4. Умножаем обе стороны на \(\frac{2}{3}\): \[ x = \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} \]

Проверка корней

Теперь проверим оба найденных корня на соответствие исходному уравнению:

1. Для \(x = -\frac{1}{2}\): \[ \left| \frac{-\frac{1}{2}}{2} - \frac{5}{4} \right| = \left| -\frac{1}{4} - \frac{5}{4} \right| = \left| -\frac{6}{4} \right| = \frac{3}{2} \] И правая часть: \[ -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2} \] Значит, это решение не подходит.

2. Для \(x = \frac{3}{2}\): \[ \left| \frac{\frac{3}{2}}{2} - \frac{5}{4} \right| = \left| \frac{3}{4} - \frac{5}{4} \right| = \left| -\frac{2}{4} \right| = \frac{1}{2} \] И правая часть: \[ \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} \] Это решение подходит.

Ответ

Таким образом, единственным решением уравнения является \(x = \frac{3}{2}\).