в треугольнике против угла 30° лежит сторона длиной 6. Какова длина стороны, лежащей против угла 135°? В ответ запишите число, возведённые в квадрате.

В треугольнике, где один угол равен 30°, а другой угол равен 135°, мы можем использовать закон синусов для нахождения длины стороны, лежащей напротив угла 135°.

Сначала найдем третий угол треугольника. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Таким образом:

\[ 180° - 30° - 135° = 15° \]

Теперь у нас есть все три угла: 30°, 135° и 15°. Сторона, лежащая напротив угла 30°, равна 6. Обозначим длину стороны, лежащей напротив угла 135°, как \( a \).

По закону синусов у нас есть:

\[ \frac{a}{\sin(135°)} = \frac{6}{\sin(30°)} \]

Зная, что \( \sin(30°) = \frac{1}{2} \) и \( \sin(135°) = \sin(180° - 135°) = \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), подставим эти значения в уравнение:

\[ \frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\frac{1}{2}} \]

Упрощаем правую часть:

\[ \frac{6}{\frac{1}{2}} = 6 \times 2 = 12 \]

Теперь у нас есть равенство:

\[ \frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 12 \]

Умножим обе стороны на \( \frac{\sqrt{2}}{2} \):

\[ a = 12 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \]

Теперь нам необходимо возвести длину стороны в квадрат. Таким образом:

\[ a^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \times 2 = 72 \]

Ответ: \( 72 \).