|х/2-5/4|=х-1

Чтобы решить уравнение \(|\frac{x}{2} - \frac{5}{4}| = x - 1\), начнем с определения двух случаев для абсолютного значения.

1. Первый случай: \(\frac{x}{2} - \frac{5}{4} = x - 1\)

Решим это уравнение: \[ \frac{x}{2} - \frac{5}{4} = x - 1 \] Переносим \(x\) в левую часть и \(-1\) в правую: \[ \frac{x}{2} - x = -1 + \frac{5}{4} \] Приведем \(x\) к общему знаменателю: \[ \frac{x}{2} - \frac{2x}{2} = -1 + \frac{5}{4} \] \[ -\frac{x}{2} = -1 + \frac{5}{4} \] Упростим правую часть: \[ -1 = -\frac{4}{4} \rightarrow -1 + \frac{5}{4} = \frac{1}{4} \] Таким образом, у нас: \[ -\frac{x}{2} = \frac{1}{4} \] Умножим обе стороны на -2: \[ x = -\frac{1}{2} \]

2. Второй случай: \(\frac{x}{2} - \frac{5}{4} = -(x - 1)\)

Решим это уравнение: \[ \frac{x}{2} - \frac{5}{4} = -x + 1 \] Переносим \(-x\) в левую часть и \(1\) в правую: \[ \frac{x}{2} + x = 1 + \frac{5}{4} \] Приведем \(x\) к общему знаменателю: \[ \frac{x}{2} + \frac{2x}{2} = 1 + \frac{5}{4} \] \[ \frac{3x}{2} = 1 + \frac{5}{4} \] Упрощаем правую часть: \[ 1 = \frac{4}{4} \rightarrow 1 + \frac{5}{4} = \frac{9}{4} \] Таким образом, у нас: \[ \frac{3x}{2} = \frac{9}{4} \] Умножим обе стороны на \(\frac{2}{3}\): \[ x = \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} \]

Теперь мы имеем два возможных решения:

1. \(x = -\frac{1}{2}\)
2. \(x = \frac{3}{2}\)

Проверим оба решения в исходном уравнении, чтобы убедиться, что они верны:

• Для \(x = -\frac{1}{2}\): \[ \left| -\frac{1}{4} - \frac{5}{4} \right| = -\frac{1}{2} - 1 \rightarrow \left| -\frac{6}{4} \right| = -\frac{3}{2} \] Не верно.

• Для \(x = \frac{3}{2}\): \[ \left| \frac{3}{4} - \frac{5}{4} \right| = \frac{3}{2} - 1 \rightarrow \left| -\frac{2}{4} \right| = \frac{1}{2} \rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \] Верно.

Таким образом, единственное решение уравнения: \[ x = \frac{3}{2} \]