(5-х)√(х-1)(х+5)≥0

Для решения неравенства \((5-x)\sqrt{(x-1)(x+5)} \geq 0\) начнем с анализа каждого из компонентов.

1. Определение области определения: Корень \(\sqrt{(x-1)(x+5)}\) определён тогда и только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно: \((x-1)(x+5) \geq 0\).

   Решим это неравенство. Найдем корни:

   • \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)
   • \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\)

   Теперь исследуем знаки произведения \((x-1)(x+5)\) на интервалах:

   • Интервал \((- \infty, -5)\): обе скобки отрицательные, произведение положительное.
   • Интервал \((-5, 1)\): первая скобка отрицательная, вторая положительная, произведение отрицательное.
   • Интервал \((1, + \infty)\): обе скобки положительные, произведение положительное.

   Значит, \((x-1)(x+5) \geq 0\) при:

   • \(x \in (-\infty, -5]\) и \(x \in [1, +\infty)\).

2. Анализ всего неравенства: Теперь рассмотрим \((5-x)\sqrt{(x-1)(x+5)} \geq 0\). Нам нужно, чтобы произведение двух множителей было неотрицательным:

   • \(5-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 5\).

3. Совмещение условий: Теперь совместим условия:

   • \((- \infty, -5]\) из первого условия.
   • \([1, 5]\) из второго условия.

   Итоговая область:

   • Условие \(x \in (-\infty, -5]\) не пересекается с \(x \in [1, 5]\).

4. Проверка границ:

   • При \(x = -5\): \((5 - (-5)) \cdot 0 \geq 0\) – верно.
   • При \(x = 1\): \((5 - 1) \cdot 0 \geq 0\) – верно.
   • При \(x = 5\): \((5 - 5) \cdot \sqrt{(5-1)(5+5)} \geq 0\) – верно.

Таким образом, единственные решения, находящиеся в области допустимых значений, это: \[ x = -5 \quad \text{и} \quad x = 1. \]

Итак, решение неравенства: \[ \boxed{[-5, 1] \cup [1, 5]} \]