Доведіть,що чотирикутник ABCD з вершинами в точках A(-5;-3), B(1,5,)C (9;-1),D(3;-9),є квадратом

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD с вершинами A(-5; -3), B(1; 5), C(9; -1) и D(3; -9) является квадратом, необходимо проверить несколько условий:

1. Равные стороны: В квадрате все стороны равны. Для этого нужно рассчитать длины сторон AB, BC, CD и DA.

2. Прямые углы: В квадрате все углы равны 90 градусов. Это можно проверить, используя скалярное произведение векторов.

1. Вычисление длин сторон:

• Длина стороны AB: \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(1 - (-5))^2 + (5 - (-3))^2} = \sqrt{(1 + 5)^2 + (5 + 3)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]

• Длина стороны BC: \[ BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(9 - 1)^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \]

• Длина стороны CD: \[ CD = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2} = \sqrt{(3 - 9)^2 + (-9 - (-1))^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]

• Длина стороны DA: \[ DA = \sqrt{(x_A - x_D)^2 + (y_A - y_D)^2} = \sqrt{(-5 - 3)^2 + (-3 - (-9))^2} = \sqrt{(-8)^2 + (6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \]

2. Проверка прямых углов:

Для проверки, что углы являются прямыми, можно использовать векторы.

• Вектор AB:
  \[ \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (1 - (-5), 5 - (-3)) = (6, 8) \]

• Вектор BC:
  \[ \vec{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (9 - 1, -1 - 5) = (8, -6) \]

Скалярное произведение векторов AB и BC: \[ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 6 \cdot 8 + 8 \cdot (-6) = 48 - 48 = 0 \] Это означает, что угол ABC – прямой.

Аналогично можно проверить углы BCD, CDA и DAB. Везде мы будем иметь, что скалярное произведение соседних векторов равно нулю, что подтверждает, что все углы прямые.

Заключение:

Так как все стороны равны (длина 10) и все углы прямые, четырехугольник ABCD является квадратом.