Чтобы найти площадь прямоугольника, зная его периметр и диагональ, можем использовать следующие формулы.
Периметр прямоугольника (P) равен двукратной сумме его длин и ширины:
( P = 2(a + b) ),
где ( a ) и ( b ) — длина и ширина прямоугольника соответственно. Здесь вам дан ( P = 56 ), значит:
( a + b = 28 ) (поскольку ( P/2 = 28 )).
Диагональ прямоугольника (d) можно рассчитать с использованием теоремы Пифагора:
( d = \sqrt{a^2 + b^2} ).
У вас ( d = 27 ), следовательно:
( a^2 + b^2 = 27^2 = 729 ).
Теперь у нас есть система уравнений:
- ( a + b = 28 )
- ( a^2 + b^2 = 729 )
Мы можем выразить ( b ) из первого уравнения:
( b = 28 - a ).
Теперь подставим это значение во второе уравнение:
( a^2 + (28 - a)^2 = 729 ).
Раскроем скобки:
( a^2 + (28^2 - 56a + a^2) = 729 )
( 2a^2 - 56a + 784 = 729 )
( 2a^2 - 56a + 55 = 0 ).
Теперь решим квадратное уравнение:
( a^2 - 28a + 27.5 = 0 ).
Используем дискриминант:
( D = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27.5 = 784 - 110 = 674 ).
Корни уравнения:
( a = \frac{28 \pm \sqrt{674}}{2} ).
Вычисляем ( \sqrt{674} ):
( \sqrt{674} \approx 25.93 ),
( a \approx \frac{28 \pm 25.93}{2} ).
Итак:
- ( a_1 \approx \frac{53.93}{2} \approx 26.965 )
- ( a_2 \approx \frac{2.07}{2} \approx 1.035 )
Теперь найдем соответствующие значения ( b ):
- Если ( a \approx 26.965, b \approx 1.035 ).
- Если ( a \approx 1.035, b \approx 26.965 ).
Площадь прямоугольника ( S = a \cdot b ):
Подставим значения:
( S = 26.965 \cdot 1.035 \approx 27.86 ).
Таким образом, площадь прямоугольника составляет примерно ( 27.86 ) квадратных единиц.
