X+3/x^2+2x+2>=-2

Чтобы решить неравенство \( \frac{x + 3}{x^2 + 2x + 2} \geq -2 \), давайте начнем с того, чтобы привести его к более простому виду.

1. Сначала перепишем неравенство: \[ \frac{x + 3}{x^2 + 2x + 2} + 2 \geq 0. \]

2. Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{x + 3 + 2(x^2 + 2x + 2)}{x^2 + 2x + 2} \geq 0. \] Упрощая числитель, получим: \[ x + 3 + 2x^2 + 4x + 4 = 2x^2 + 5x + 7. \]

Таким образом, у нас есть: \[ \frac{2x^2 + 5x + 7}{x^2 + 2x + 2} \geq 0. \]

3. Теперь нужно анализировать знак дроби. Дома оценим, когда числитель и знаменатель положительны или отрицательны.

4. Рассмотрим знаменатель \( x^2 + 2x + 2 \). Он может быть записан как \( (x + 1)^2 + 1 \). Этот многочлен всегда положителен, так как квадрат любого числа и 1 не может быть отрицательным. Таким образом, мы можем не беспокоиться о нуле в знаменателе.

5. Теперь сосредоточимся на числителе \( 2x^2 + 5x + 7 \). Чтобы понять, когда он положителен, можем найти его дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 25 - 56 = -31. \] Поскольку дискриминант отрицателен, квадратный трехчлен не имеет действительных корней и всегда положителен.

6. Таким образом, числитель также всегда положителен.

Теперь мы можем сделать вывод о знаке дроби: \[ \frac{2x^2 + 5x + 7}{x^2 + 2x + 2} \geq 0 \] выполняется для всех \( x \).

Ответ: Неравенство выполняется для всех \( x \in \mathbb{R} \).