((5-x)(2x+8))/3-6x≤0
Чтобы решить неравенство \(\frac{(5-x)(2x+8)}{3} - 6x \leq 0\), давайте сначала упростим его.
Умножим всё неравенство на 3 (так как 3 положительное число, знак неравенства не изменится): \[ (5-x)(2x+8) - 18x \leq 0 \]
Раскроем скобки: \[ 10x + 40 - 2x^2 - 8x - 18x \leq 0 \]
Соберем все члены: \[ -2x^2 - 16x + 40 \leq 0 \] Если умножим все на -1, знак неравенства изменится: \[ 2x^2 + 16x - 40 \geq 0 \]
Теперь упростим: \[ x^2 + 8x - 20 \geq 0 \]
Найдем корни уравнения \(x^2 + 8x - 20 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 \]
Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 12}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 12}{2} = -10 \]
Теперь определим промежутки, в которых выполняется неравенство \(x^2 + 8x - 20 \geq 0\). Корни \(x = -10\) и \(x = 2\) делят числовую прямую на три промежутка:
- \(x < -10\)
- \(-10 \leq x \leq 2\)
- \(x > 2\)
- Проверим знак выражения в каждом из промежутков. Например, выберем значения:
- Для \(x < -10\) (например, \(x = -11\)): \( (-11)^2 + 8(-11) - 20 = 121 - 88 - 20 = 13 \geq 0\)
- Для \(-10 < x < 2\) (например, \(x = 0\)): \(0^2 + 8(0) - 20 = -20 < 0\)
- Для \(x > 2\) (например, \(x = 3\)): \(3^2 + 8(3) - 20 = 9 + 24 - 20 = 13 \geq 0\)
Собирая всё вместе, мы видим, что неравенство выполняется в интервалах: \[ x \leq -10 \quad \text{или} \quad x \geq 2 \]
Таким образом, окончательный ответ: \[ x \in (-\infty, -10] \cup [2, +\infty) \]
