1/x^2-6x+8<-1
Чтобы решить неравенство \( \frac{1}{x^2 - 6x + 8} < -1 \), сначала упростим его.
Перепишем неравенство так, чтобы все члены были слева: \[ \frac{1}{x^2 - 6x + 8} + 1 < 0 \]
Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{1 + (x^2 - 6x + 8)}{x^2 - 6x + 8} < 0 \] Упрощаем числитель: \[ 1 + x^2 - 6x + 8 = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \]
Теперь неравенство выглядит так: \[ \frac{(x - 3)^2}{x^2 - 6x + 8} < 0 \]
Теперь рассмотрим знаменатель \( x^2 - 6x + 8 \). Найдем его корни: \[ x^2 - 6x + 8 = 0 \] Используем дискриминант: \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \] Корни: \[ x = \frac{6 \pm 2}{2} = 4 \quad \text{и} \quad 2 \]
Знаменатель \( x^2 - 6x + 8 \) положителен на интервалах \( (-\infty, 2) \) и \( (4, \infty) \) и отрицателен на интервале \( (2, 4) \).
Поскольку числитель \( (x - 3)^2 \) всегда неотрицателен и равен нулю только при \( x = 3 \), то числитель равен нулю в точке \( x = 3 \).
Теперь анализируем знаки:
- Для \( x < 2 \): и числитель, и знаменатель положительны, значит, дробь положительна.
- В интервале \( (2, 3) \): числитель положителен, знаменатель отрицателен, значит, дробь отрицательна.
- В точке \( x = 3 \): дробь равна нулю.
- В интервале \( (3, 4) \): числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь снова отрицательна.
- Для \( x > 4 \): и числитель, и знаменатель положительны, дробь положительна.
Таким образом, неравенство \( \frac{(x - 3)^2}{x^2 - 6x + 8} < 0 \) выполняется на интервалах \( (2, 3) \) и \( (3, 4) \).
Итоговый ответ: \[ x \in (2, 3) \cup (3, 4) \]
