((5-x)(2x+8))/(3-6x)≤0
Чтобы решить неравенство \(\frac{(5-x)(2x+8)}{3-6x} \leq 0\), начнем с поиска значений, при которых числитель и знаменатель равны нулю, а затем определим знаки выражения на различных интервалах.
Найдем нули числителя и знаменателя.
Числитель: \((5-x)(2x+8) = 0\)
- \(5 - x = 0 \Rightarrow x = 5\)
- \(2x + 8 = 0 \Rightarrow 2x = -8 \Rightarrow x = -4\)
Знаменатель: \(3 - 6x = 0\)
- \(3 = 6x \Rightarrow x = \frac{1}{2}\)
Теперь у нас есть ключевые точки:
- \(x = -4\)
- \(x = \frac{1}{2}\)
- \(x = 5\)
Разделим числовую ось на интервалы:
- \( (-\infty, -4) \)
- \( (-4, \frac{1}{2}) \)
- \( (\frac{1}{2}, 5) \)
- \( (5, +\infty) \)
Определим знак выражения на каждом интервале, выбирая тестовые точки:
Для интервала \((- \infty, -4)\): возьмем \(x = -5\): \[ \frac{(5 - (-5))(2(-5) + 8)}{3 - 6(-5)} = \frac{(10)(-10 + 8)}{3 + 30} = \frac{(10)(-2)}{33} < 0 \quad \text{(отрицательно)} \]
Для интервала \((-4, \frac{1}{2})\): возьмем \(x = 0\): \[ \frac{(5 - 0)(2(0) + 8)}{3 - 6(0)} = \frac{(5)(8)}{3} > 0 \quad \text{(положительно)} \]
Для интервала \((\frac{1}{2}, 5)\): возьмем \(x = 1\): \[ \frac{(5 - 1)(2(1) + 8)}{3 - 6(1)} = \frac{(4)(10)}{-3} < 0 \quad \text{(отрицательно)} \]
Для интервала \((5, +\infty)\): возьмем \(x = 6\): \[ \frac{(5 - 6)(2(6) + 8)}{3 - 6(6)} = \frac{(-1)(20)}{-33} > 0 \quad \text{(положительно)} \]
Соберем результаты:
- Интервалы с положительными значениями: \((-4, \frac{1}{2})\) и \((5, +\infty)\)
- Интервалы с отрицательными значениями: \((- \infty, -4)\) и \((\frac{1}{2}, 5)\)
Теперь обратим внимание на точки:
- В \(-4\) числитель равен нулю, что подходит под неравенство \(\leq 0\).
- В \(\frac{1}{2}\) знаменатель равен нулю, поэтому это значение не включается в диапазон.
- В \(5\) числитель равен нулю, что также подходит под неравенство.
Ответ: \[ x \in (-\infty, -4] \cup (\frac{1}{2}, 5] \]
Таким образом, решением неравенства будет сумма указанных интервалов. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!
