t/3-4/t>=4/3
Чтобы решить неравенство \( \frac{t}{3} - \frac{4}{t} \geq \frac{4}{3} \), давай сначала умножим обе стороны на \( 3t \), чтобы избавиться от дробей. Обратите внимание, что при умножении на \( t \) необходимо учитывать, что \( t \) не должно быть равно нулю, и знаки неравенства могут измениться в зависимости от значения \( t \).
- Умножаем обе стороны на \( 3t \): \[ t^2 - 12 \geq 4t \]
- Переносим все элементы в одну сторону: \[ t^2 - 4t - 12 \geq 0 \]
Теперь мы можем решить квадратное неравенство. Для этого найдем корни уравнения \( t^2 - 4t - 12 = 0 \) с помощью дискриминанта:
- Вычисляем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 \]
- Находим корни: \[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 8}{2} = 6 \] \[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 8}{2} = -2 \]
Теперь у нас есть корни \( t_1 = 6 \) и \( t_2 = -2 \). Для анализа знаков неравенства используем числовую прямую, деля её на промежутки: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 6) \) и \( (6, +\infty) \).
Выбираем тестовые точки из каждого промежутка:
- Для \( t < -2 \) (например, \( t = -3 \)): \[ (-3)^2 - 4(-3) - 12 = 9 + 12 - 12 = 9 \quad (\text{положительно}) \]
- Для \( -2 < t < 6 \) (например, \( t = 0 \)): \[ 0^2 - 4(0) - 12 = -12 \quad (\text{отрицательно}) \]
- Для \( t > 6 \) (например, \( t = 7 \)): \[ 7^2 - 4(7) - 12 = 49 - 28 - 12 = 9 \quad (\text{положительно}) \]
Теперь объединяем результаты: \[ t^2 - 4t - 12 \geq 0 \text{ на интервалах } (-\infty, -2] \cup [6, +\infty) \]
Таким образом, решением неравенства является: \[ t \in (-\infty, -2] \cup [6, +\infty) \]
