A^4-7a^2+1/a^2+3a+1=a^2-3a+1 доказать

Чтобы доказать равенство \( \frac{a^4 - 7a^2 + 1}{a^2 + 3a + 1} = a^2 - 3a + 1 \), начнем с упрощения левой части.

1. Умножим обе стороны равенства на \( a^2 + 3a + 1 \) (предполагая, что \( a^2 + 3a + 1 \neq 0 \)): \[ a^4 - 7a^2 + 1 = (a^2 - 3a + 1)(a^2 + 3a + 1) \]

2. Теперь раскроем правую часть: \[ (a^2 - 3a + 1)(a^2 + 3a + 1) = a^4 + 3a^3 + a^2 - 3a^3 - 9a^2 - 3a + a^2 + 3a + 1 \] Сложив подобные члены: \[ = a^4 + (3a^3 - 3a^3) + (1 - 9 + 1)a^2 + (0 - 3 + 3)a + 1 \] \[ = a^4 - 7a^2 + 1 \]

3. Теперь сравним обе стороны: Левое выражение: \[ a^4 - 7a^2 + 1 \] Правое выражение: \[ a^4 - 7a^2 + 1 \]

4. Поскольку обе стороны равны, мы доказали, что: \[ \frac{a^4 - 7a^2 + 1}{a^2 + 3a + 1} = a^2 - 3a + 1 \]

Таким образом, равенство действительно верно.