Существует ли выпуклый многоугольник,сумма углов которого равна 1) 1980⁰ 2) 900⁰ 3) 2150⁰

Для понимания, существует ли выпуклый многоугольник с заданной суммой углов, нам нужно вспомнить, как рассчитывается сумма внутренних углов многоугольника.

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника с n сторонами определяется формулой:

\[ S = (n - 2) \times 180° \]

где \( S \) — сумма углов, а \( n \) — количество сторон многоугольника.

Из этой формулы видно, что сумма углов только увеличивается с увеличением числа сторон. Поскольку любая сумма углов должна быть равна \( (n - 2) \times 180° \), это означает, что сумма углов должна быть кратна 180°.

Теперь давайте проверим каждый из предложенных вариантов:

1. 1980°:

   • Чтобы найти n, приравняем к формуле: \[ (n - 2) \times 180° = 1980° \] \[ n - 2 = \frac{1980°}{180°} = 11 \] \[ n = 13 \] Выпуклый многоугольник с 13 сторонами существует, следовательно, многоугольник с суммой углов 1980° действительно может быть.

2. 900°:

   \[ (n - 2) \times 180° = 900° \] \[ n - 2 = \frac{900°}{180°} = 5 \] \[ n = 7 \] Это значит, что многоугольник с 7 сторонами также существует, и сумма углов 900° возможна.

3. 2150°:

   \[ (n - 2) \times 180° = 2150° \] \[ n - 2 = \frac{2150°}{180°} \approx 11.94 \] Это значение не является целым, следовательно, такого n не существует. Выпуклый многоугольник с суммой углов 2150° создать невозможно.

Таким образом, выпуклый многоугольник существует с суммами углов 1980° и 900°, но не существует с суммой углов 2150°.