Существует ли выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен 1) 135⁰ 2) 144⁰ 3) 130⁰
Чтобы определить, существует ли выпуклый многоугольник с заданными углами, нужно обратить внимание на сумму внутренних углов многоугольников и на количество сторон.
Сумма внутренних углов многоугольника с \( n \) сторонами рассчитывается по формуле:
\[ S = (n - 2) \times 180^\circ \]
Для угла 135°: Предположим, что многоугольник имеет \( n \) углов. Тогда сумма углов будет равна \( n \times 135^\circ \). Установим равенство:
\[ n \times 135 = (n - 2) \times 180 \]
Раскроем скобки:
\[ 135n = 180n - 360 \]
Переносим все \( n \) на одну сторону:
\[ 180n - 135n = 360 \] \[ 45n = 360 \] \[ n = 8 \]
Таким образом, существует выпуклый многоугольник с углами 135° (восьмиугольник).
Для угла 144°: Аналогично, установим равенство:
\[ n \times 144 = (n - 2) \times 180 \]
Раскроем скобки:
\[ 144n = 180n - 360 \]
Переносим все \( n \) на одну сторону:
\[ 180n - 144n = 360 \] \[ 36n = 360 \] \[ n = 10 \]
Таким образом, существует выпуклый многоугольник с углами 144° (десятиугольник).
Для угла 130°: Снова устанавливаем равенство:
\[ n \times 130 = (n - 2) \times 180 \]
Раскроем скобки:
\[ 130n = 180n - 360 \]
Переносим все \( n \) на одну сторону:
\[ 180n - 130n = 360 \] \[ 50n = 360 \] \[ n = 7.2 \]
Поскольку количество сторон \( n \) должно быть целым, выпуклый многоугольник с углами 130° не существует.
Таким образом, существуют выпуклые многоугольники для углов 135° и 144°, но не для угла 130°.
