Функция задана формулой f(x)=2-x^2/x+1: а) Найдите значение f(√2-1); решите уравнение f(x+2)=2; в) найдите область определения и нули функции

Давайте рассмотрим вашу задачу по функции, заданной формулой \( f(x) = \frac{2 - x^2}{x + 1} \).

а) Найдите значение \( f(\sqrt{2} - 1) \)

Для начала подставим \( x = \sqrt{2} - 1 \) в формулу функции:

\[ f(\sqrt{2} - 1) = \frac{2 - (\sqrt{2} - 1)^2}{(\sqrt{2} - 1) + 1} \]

Сначала вычислим \( (\sqrt{2} - 1)^2 \):

\[ (\sqrt{2} - 1)^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2} \]

Теперь подставим это значение в выражение для \( f \):

\[ f(\sqrt{2} - 1) = \frac{2 - (3 - 2\sqrt{2})}{\sqrt{2}} \] \[ = \frac{2 - 3 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{-1 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}} + 2 \]

Чтобы привести к общему знаменателю:

\[ = \frac{-1 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \approx 0.414 \]

б) Решите уравнение \( f(x+2) = 2 \)

Сначала найдем \( f(x + 2) \):

\[ f(x + 2) = \frac{2 - (x + 2)^2}{(x + 2) + 1} = \frac{2 - (x^2 + 4x + 4)}{x + 3} \] \[ = \frac{2 - x^2 - 4x - 4}{x + 3} = \frac{-x^2 - 4x - 2}{x + 3} \]

Теперь решим уравнение:

\[ \frac{-x^2 - 4x - 2}{x + 3} = 2 \]

Умножим обе стороны на \( x + 3 \) (предполагая, что \( x \neq -3 \)):

\[ -x^2 - 4x - 2 = 2(x + 3) \] \[ -x^2 - 4x - 2 = 2x + 6 \] \[ -x^2 - 6x - 8 = 0 \quad \text{или} \quad x^2 + 6x + 8 = 0 \]

Теперь решаем квадратное уравнение:

\[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \]

Корни:

\[ x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 2}{2} \] \[ x_1 = -2, \quad x_2 = -4 \]

в) Найдите область определения и нули функции

Область определения: функция \( f(x) \) определена для всех \( x \), кроме тех, для которых знаменатель равен нулю. Знаменатель:

\[ x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \]

Таким образом, область определения:

\[ D = \mathbb{R} \setminus \{-1\} \]

Нули функции: нули функции определяются решением уравнения \( 2 - x^2 = 0 \):

\[ x^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{2} \]

Итог

1. Значение \( f(\sqrt{2} - 1) \approx 0.414 \).
2. Уравнение \( f(x + 2) = 2 \) имеет решения \( x = -2 \) и \( x = -4 \).
3. Область определения: \( D = \mathbb{R} \setminus \{-1\} \); нули функции: \( x = \pm \sqrt{2} \).

Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!