|3x-1|=|1-x|

Чтобы решить уравнение |3x - 1| = |1 - x|, давайте рассмотрим два случая, в которых могут находиться значения x.

Случай 1:

Когда оба выражения в модулях положительны.

1. Убираем модули: \(3x - 1 = 1 - x\)

   Переносим все x в одну сторону и константы в другую: \(3x + x = 1 + 1\)

   Получаем: \(4x = 2\)

   Делим обе стороны на 4: \(x = \frac{1}{2}\)

Случай 2:

Когда 3x - 1 отрицательно, а 1 - x положительно.

2. Убираем модули: \(-(3x - 1) = 1 - x\)

   Это значит: \(-3x + 1 = 1 - x\)

   Переносим x в одну сторону: \(-3x + x = 1 - 1\)

   Получаем: \(-2x = 0\)

   Делим обе стороны на -2: \(x = 0\)

Случай 3:

Когда оба выражения в модулях отрицательны.

3. Убираем модули: \(-(3x - 1) = -(1 - x)\)

   Это значит: \(-3x + 1 = -1 + x\)

   Переносим все x в одну сторону и константы в другую: \(-3x - x = -1 - 1\)

   Получаем: \(-4x = -2\)

   Делим обе стороны на -4: \(x = \frac{1}{2}\)

Теперь мы нашли возможные решения: \(x = 0\) и \(x = \frac{1}{2}\).

Проверка решений:

1. Подставляем \(x = 0\): \(|3(0) - 1| = |1 - 0|\) \(|-1| = |1|\) → \(1 = 1\) (верно)

2. Подставляем \(x = \frac{1}{2}\): \(|3(\frac{1}{2}) - 1| = |1 - \frac{1}{2}|\) \(|\frac{3}{2} - 1| = |\frac{1}{2}|\) \(|\frac{1}{2}| = |\frac{1}{2}|\) → \( \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \) (верно)

Ответ:

Таким образом, решения уравнения |3x - 1| = |1 - x| — это \(x = 0\) и \(x = \frac{1}{2}\).