у=х-✓х+6\х+5 укажите область определения и найдите нули функции

Чтобы определить область определения функции \( y = \frac{x - \sqrt{x + 6}}{x + 5} \) и найти нули функции, давайте разберем каждый шаг подробно.

1. Область определения

Функция имеет два важных компонента: числитель и знаменатель. Нам необходимо установить условия, при которых данная функция определена.

Числитель: \( x - \sqrt{x + 6} \)

• Поскольку мы имеем квадратный корень, выражение под корнем должно быть неотрицательным: \[ x + 6 \geq 0 \implies x \geq -6 \]

Знаменатель: \( x + 5 \)

• Знаменатель не должен равняться нулю: \[ x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5 \]

Теперь мы можем объединить оба условия:

• \( x \geq -6 \) и \( x \neq -5 \)

Таким образом, область определения функции будет: \[ x \in [-6, -5) \cup (-5, +\infty) \]

2. Нули функции

Чтобы найти нули функции, нам нужно решить уравнение: \[ x - \sqrt{x + 6} = 0 \]

Преобразуем его: \[ x = \sqrt{x + 6} \] Теперь возведем обе стороны в квадрат: \[ x^2 = x + 6 \] Переносим все в одну сторону: \[ x^2 - x - 6 = 0 \] Теперь мы решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1, b = -1, c = -6 \). Подставляем значения: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm 5}{2} \] Теперь вычислим два корня:

1. \( x = \frac{6}{2} = 3 \)
2. \( x = \frac{-4}{2} = -2 \)

Проверяем, попадают ли эти значения в область определения:

• \( x = 3 \) входит в область определения.
• \( x = -2 \) также входит в область определения.

Таким образом, нули функции находятся в точках: \[ x = 3 \quad и \quad x = -2 \]

Итоги

• Область определения: \( x \in [-6, -5) \cup (-5, +\infty) \)
• Нули функции: \( x = 3 \) и \( x = -2 \)

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!