Катер ағыспен 32 км және ағысқа қарсы 12 км жүріп барлық жолға 2 сағат жұмсады. Ағыс жылдамдығы 3км/сағ. Катердің меншікті жылдамдығын табыңыз.
Чтобы решить задачу, давайте обозначим скорость катера относительно воды как \( v_c \) км/ч, а скорость течения как \( v_a = 3 \) км/ч.
Катер движется по течению на расстояние 32 км, поэтому его скорость по течению: \[ v_{down} = v_c + v_a = v_c + 3 \]
Он движется против течения на расстояние 12 км, поэтому его скорость против течения: \[ v_{up} = v_c - v_a = v_c - 3 \]
Теперь, давайте рассмотрим время, потраченное на каждую часть пути. Общее время путешествия равно 2 часам. Мы можем записать уравнение для времени:
Время в пути по течению: \[ t_{down} = \frac{32}{v_c + 3} \]
Время в пути против течения: \[ t_{up} = \frac{12}{v_c - 3} \]
Общее время: \[ t_{down} + t_{up} = 2 \] \[ \frac{32}{v_c + 3} + \frac{12}{v_c - 3} = 2 \]
Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны на общие знаменатели: \[ 32(v_c - 3) + 12(v_c + 3) = 2(v_c + 3)(v_c - 3) \]
Раскроем скобки: \[ 32v_c - 96 + 12v_c + 36 = 2(v_c^2 - 9) \] \[ 44v_c - 60 = 2v_c^2 - 18 \]
Приведем все члены к одной стороне: \[ 2v_c^2 - 44v_c + 42 = 0 \]
Разделим на 2 для упрощения: \[ v_c^2 - 22v_c + 21 = 0 \]
Теперь можно использовать формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ v_c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где \( a = 1 \), \( b = -22 \), \( c = 21 \): \[ v_c = \frac{22 \pm \sqrt{(-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1} \] \[ v_c = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 84}}{2} \] \[ v_c = \frac{22 \pm \sqrt{400}}{2} \] \[ v_c = \frac{22 \pm 20}{2} \]
Теперь найдем два возможных значения:
- \( v_c = \frac{42}{2} = 21 \) км/ч
- \( v_c = \frac{2}{2} = 1 \) км/ч (это значение не имеет смысла в данном контексте, так как скорость катера должна быть больше скорости течения).
Таким образом, менше скоростью катера является: \[ v_c = 21 \text{ км/ч} \]
Ответ: скорость катера составляет 21 км/ч.
