В школьной столовой есть 3 блюда: коржик, конфеты "карамелька" и компот. Цена коржика составляет 20 рублей, а цена конфетки 15 рублей, компот всем наливают бесплатно. Однако…
В школьной столовой есть 3 блюда: коржик, конфеты "карамелька" и компот. Цена коржика составляет 20 рублей, а цена конфетки 15 рублей, компот всем наливают бесплатно. Однако школьник Петя договорился со школьной поварихой, что будет покупать комплект из коржика и карамельки за 15 рублей. Про него известно, что он обладает функцией полезности U = X * Y, где X количество потребленных коржиков, а Y карамелек. Сколько он купит коржиков отдельно от комплектов, если у него всего 300 рублей.
Давайте проанализируем ситуацию и найдем, сколько коржиков Петя сможет купить отдельно от комплектов.
Определим цены и бюджеты:
- Цена коржика = 20 рублей
- Цена конфетки "карамелька" = 15 рублей
- Петя может купить комплект из коржика и карамельки за 15 рублей.
Полезность: У Пети функция полезности задана как \( U = X * Y \), где \( X \) — количество коржиков, а \( Y \) — количество карамелек.
Бюджет Пети: У него есть 300 рублей. Пусть \( n \) — это количество комплектов, которые он купит. Тогда на комплект он потратит \( 15n \) рублей.
После покупки комплектов у Пети останется: \[ 300 - 15n \text{ рублей.} \]
Сколько же коржиков он может купить отдельно? Из оставшихся денег Петя может купить коржики по цене 20 рублей. Количество коржиков, которое он может купить, будет равно: \[ \frac{300 - 15n}{20}. \]
Оптимизация полезности: Теперь нужно понять, сколько комплектов ему выгоднее всего купить, чтобы максимизировать свою полезность. Сначала давайте выразим функцию полезности через \( n \):
- При покупке \( n \) комплектов, он получит \( n \) коржиков и \( n \) карамелек.
- Остаток денег (300 - 15n) позволит ему купить \( \frac{300 - 15n}{20} \) коржиков дополнительно.
Полезность может быть записана следующим образом: \[ U(n) = (n + \frac{300 - 15n}{20}) * n. \]
Находим максимальное значение функции полезности: Теперь мы можем выразить количество коржиков через \( n \):
- Это получится \( U(n) = n \left( n + \frac{300 - 15n}{20} \right) \).
Вычислив, получим: \[ U(n) = n \left( n + 15 - \frac{3n}{4} \right) = n \left( \frac{n}{4} + 15 \right). \]
Оптимальное количество комплектов, которое Петя может купить, будет зависеть от того, сколько комплектов он сможет приобрести, чтобы максимально повысить полезность. Как только нужно найти, когда полезность начинает уменьшаться, можно использовать производную и решить уравнение.
Рассмотрим крайние случаи: Если Петя купит 0 комплектов, то он сможет позволить себе \( \frac{300}{20} = 15 \) коржиков. Если он купит 20 комплектов (потратит все деньги на это), то он не сможет купить ни одного коржика.
Теперь, чтобы максимально использовать свои 300 рублей, ему стоит экспериментировать с различными значениями \( n \) и периодически пересчитывать, сколько ему остается на коржики, чтобы достичь максимальной полезности.
В зависимости от ваших расчетов, подберите оптимальное количество комплектов для наибольшей полезности, помня, что при увеличении количества комплектов, он начинает терять возможность покупать большее количество коржиков отдельно.
В результате, у каждого количества комплектов \( n \) будет свое максимальное количество коржиков \( X \), которое Петя сможет дополнительно купить отдельно.
