игральную кость подбрасывают трижды. Найди количество элементарных событий, при которых в сумме выпало количество очков равное 5
Когда мы подбрасываем игральную кость трижды, каждое подбрасывание может дать значения от 1 до 6. Чтобы найти количество элементарных событий, при которых сумма очков равна 5, мы можем рассмотреть все возможные комбинации трех чисел, сумма которых равна 5.
Давайте обозначим результаты трех бросков как \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\). Нам нужно решить уравнение:
\[ x_1 + x_2 + x_3 = 5 \]
где \(1 \leq x_1, x_2, x_3 \leq 6\). Однако, поскольку мы знаем, что сумма не может превышать 5, мы можем с уверенностью сказать, что все \(x_i\) не могут быть больше 5.
Чтобы упростить подсчет, мы можем воспользоваться методом "звезд и палочек". Для этого мы сначала уменьшим сумму, вычитая 1 от каждого \(x_i\). Обозначим новые переменные:
\[ y_1 = x_1 - 1, \quad y_2 = x_2 - 1, \quad y_3 = x_3 - 1 \]
Тогда у нас есть:
\[ y_1 + y_2 + y_3 = 5 - 3 = 2 \]
где \(0 \leq y_1, y_2, y_3\). Мы ищем неотрицательные целые решения этого уравнения.
Используя формулу для нахождения количества неотрицательных целых решений уравнения, у нас есть количество решений:
\[ C(n + k - 1, k - 1) \]
где \(n\) — это сумма, которую мы ищем (в нашем случае \(2\)), а \(k\) — количество переменных (в нашем случае \(3\)).
Таким образом, мы ищем:
\[ C(2 + 3 - 1, 3 - 1) = C(4, 2) \]
Считаем:
\[ C(4, 2) = \frac{4!}{2! \cdot (4 - 2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \]
Теперь давайте перечислим все подходящие комбинации бросков, чтобы убедиться, что мы ничего не пропустили:
- \(1, 1, 3\)
- \(1, 2, 2\)
- \(1, 3, 1\)
- \(2, 1, 2\)
- \(2, 2, 1\)
- \(3, 1, 1\)
Итак, мы видим, что все комбинации приведут к 6 уникальным вариантам.
Таким образом, количество элементарных событий, при которых сумма очков равна 5, составляет 6.
