2 sin x - cos x - 1

Чтобы решить уравнение \( 2 \sin x - \cos x - 1 = 0 \), давайте выразим \(\cos x\) через \(\sin x\):

1. Переносим \(-\cos x\) и \(-1\) на другую сторону уравнения: \[ 2 \sin x - 1 = \cos x \]

2. Теперь мы можем выразить уравнение в виде: \[ \cos x = 2 \sin x - 1 \]

3. Используя равенство \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), подставим значение \(\cos x\): \[ \sin^2 x + (2\sin x - 1)^2 = 1 \]

4. Раскроем скобки: \[ \sin^2 x + (4\sin^2 x - 4\sin x + 1) = 1 \]

5. Приведем подобные члены: \[ 5\sin^2 x - 4\sin x + 1 = 1 \]

6. Упрощая уравнение, получаем: \[ 5\sin^2 x - 4\sin x = 0 \]

7. Вынесем общий фактор: \[ \sin x (5\sin x - 4) = 0 \]

8. Теперь мы можем решить это уравнение: \[ \sin x = 0 \quad \text{или} \quad 5\sin x - 4 = 0 \]

   Для \(\sin x = 0\): \[ x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \]

   Для \(5\sin x - 4 = 0\): \[ \sin x = \frac{4}{5} \]

   То есть: \[ x = \arcsin\left(\frac{4}{5}\right) + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \pi - \arcsin\left(\frac{4}{5}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Таким образом, обобщенное решение уравнения: \[ x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \quad \text{или} \quad x = \arcsin\left(\frac{4}{5}\right) + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \pi - \arcsin\left(\frac{4}{5}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]