Радиус оснований усеченного конуса равны 3 см и 4 см. А радиус описанного около него шара 5 см. Найдите высоту усеченного конуса
Для нахождения высоты усеченного конуса, имея радиусы оснований и радиус описанного около него шара, можно воспользоваться формулой для радиуса описанного шара \( R \):
\[ R = \frac{h}{2} \sqrt{\frac{r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2}{(r_1 + r_2)^2}} \]
где \( R \) — радиус описанного шара, \( h \) — высота усеченного конуса, \( r_1 \) и \( r_2 \) — радиусы оснований конуса.
В вашем случае:
- \( r_1 = 3 \) см (меньший радиус),
- \( r_2 = 4 \) см (больший радиус),
- \( R = 5 \) см.
Теперь подставим известные значения в формулу:
\[ 5 = \frac{h}{2} \sqrt{\frac{3^2 + 4^2 + 3 \cdot 4}{(3 + 4)^2}} \]
Сначала посчитаем выражение под корнем:
\[ 3^2 = 9, \] \[ 4^2 = 16, \] \[ 3 \cdot 4 = 12, \] \[ 9 + 16 + 12 = 37, \] \[ 3 + 4 = 7 \quad \text{и} \quad 7^2 = 49. \]
Таким образом, имеем:
\[ 5 = \frac{h}{2} \sqrt{\frac{37}{49}}. \]
Упростим:
\[ \sqrt{\frac{37}{49}} = \frac{\sqrt{37}}{7}, \]
И подставим это в уравнение:
\[ 5 = \frac{h}{2} \cdot \frac{\sqrt{37}}{7}. \]
Умножим обе стороны на 2:
\[ 10 = h \cdot \frac{\sqrt{37}}{7}. \]
Теперь, умножив обе стороны на \( \frac{7}{\sqrt{37}} \), получим высоту:
\[ h = 10 \cdot \frac{7}{\sqrt{37}}. \]
Теперь посчитаем корень и произведение:
\[ h = \frac{70}{\sqrt{37}}. \]
Для удобства, можно оставить ответ в таком виде или приблизительно посчитать:
\(\sqrt{37} \approx 6.08\), значит
\[ h \approx \frac{70}{6.08} \approx 11.51 \text{ см}. \]
Таким образом, высота усеченного конуса составляет примерно 11.51 см.
