В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 – черешню. Двое любят груши и черешню; 6 – груши и яблоки; 5 – яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят всё и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?

Question 1

Задача Задача №1449910

А

Аноним

10 сентября 2024 07:36 · публичный вопрос

А

Аноним 10 сентября 2024 07:36

В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 – черешню. Двое любят груши и черешню; 6 – груши и яблоки; 5 – яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят всё и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?

Answer

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся принципом включения и исключения, а также представим иметь дело с несколькими пустыми множествами.

Дано:
- Всего учеников: \( 25 \)
- Любят груши (Г): \( 7 \)
- Любят черешню (Ч): \( 11 \)
- Любят оба (Г и Ч): \( 2 \)
- Любят груши и яблоки (Г и Я): \( 6 \)
- Любят яблоки и черешню (Я и Ч): \( 5 \)
- Любят все три фрукта (Г, Ч и Я): \( 2 \)
- Не любят фрукты вообще: \( 4 \)
Найдем количество учеников, которые любят хотя бы один фрукт: \[ N = 25 - 4 = 21 \] (всего - те, кто не любит фрукты).
Используем формулу для объединения множеств: \[ |G \cup Ch \cup Y| = |G| + |Ch| + |Y| - |G \cap Ch| - |G \cap Y| - |Y \cap Ch| + |G \cap Ch \cap Y| \]

Подставим известные значения: \[ 21 = 7 + 11 + |Y| - 2 - 6 - 5 + 2 \]

Упростим уравнение: \[ 21 = 12 + |Y| - 11 \] \[ 21 = 1 + |Y| \]

Из этого следует, что: \[ |Y| = 21 - 1 = 20 \]
Учитывая, что мы посчитали общее количество, можем выделить тех, кто любит только яблоки: Таким образом, расчет показал, что 20 учеников любят яблоки. Однако, поскольку у нас есть 4 ученика, не любящих фрукты, оставшиеся 17 учеников распадают на те, что любят яблоки, груши, черешню и их комбинации.

Теперь подсчитаем, сколько из этих учеников различных комбинаций действительно любят яблоки.

Уточним, сколько уникальных учеников любят яблоки: Из 20, у нас 6 учеников любят груши и яблоки, а 2 из них любят всё, таким образом:
- Любят только груши и яблоки: \( 6 - 2 = 4 \).
- Любят яблоки и черешню: \( 5 - 2 = 3 \).
- И те, кто любят только яблоки: \( |Y| - (4 + 3 + 2) = 20 - 9 = 11 \).

Соберем всех любителей яблок вместе:

11 (только яблоки)
4 (груши и яблоки)
3 (яблоки и черешню)
2 (все три фрукта)

Таким образом, количество учеников, любящих яблоки, составляет: \[ 11 + 4 + 3 + 2 = 20 \]

Таким образом, в классе 20 учеников любят яблоки!

Question 2

В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 – черешню. Двое любят груши и черешню; 6 – груши и яблоки; 5 – яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят всё и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?

Answer

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся принципом включения и исключения, а также представим иметь дело с несколькими пустыми множествами. 1. **Дано**: - Всего учеников: \( 25 \) - Любят груши (Г): \( 7 \) - Любят черешню (Ч): \( 11 \) - Любят оба (Г и Ч): \( 2 \) - Любят груши и яблоки (Г и Я): \( 6 \) - Любят яблоки и черешню (Я и Ч): \( 5 \) - Любят все три фрукта (Г, Ч и Я): \( 2 \) - Не любят фрукты вообще: \( 4 \) 2. **Найдем количество учеников, которые любят хотя бы один фрукт**: \[ N = 25 - 4 = 21 \] (всего - те, кто не любит фрукты). 3. **Используем формулу для объединения множеств**: \[ |G \cup Ch \cup Y| = |G| + |Ch| + |Y| - |G \cap Ch| - |G \cap Y| - |Y \cap Ch| + |G \cap Ch \cap Y| \] Подставим известные значения: \[ 21 = 7 + 11 + |Y| - 2 - 6 - 5 + 2 \] Упростим уравнение: \[ 21 = 12 + |Y| - 11 \] \[ 21 = 1 + |Y| \] Из этого следует, что: \[ |Y| = 21 - 1 = 20 \] 4. **Учитывая, что мы посчитали общее количество, можем выделить тех, кто любит только яблоки**: Таким образом, расчет показал, что 20 учеников любят яблоки. Однако, поскольку у нас есть 4 ученика, не любящих фрукты, оставшиеся 17 учеников распадают на те, что любят яблоки, груши, черешню и их комбинации. Теперь подсчитаем, сколько из этих учеников различных комбинаций действительно любят яблоки. 5. **Уточним, сколько уникальных учеников любят яблоки**: Из 20, у нас 6 учеников любят груши и яблоки, а 2 из них любят всё, таким образом: - Любят только груши и яблоки: \( 6 - 2 = 4 \). - Любят яблоки и черешню: \( 5 - 2 = 3 \). - И те, кто любят только яблоки: \( |Y| - (4 + 3 + 2) = 20 - 9 = 11 \). Соберем всех любителей яблок вместе: - 11 (только яблоки) - 4 (груши и яблоки) - 3 (яблоки и черешню) - 2 (все три фрукта) Таким образом, количество учеников, любящих яблоки, составляет: \[ 11 + 4 + 3 + 2 = 20 \] Таким образом, в классе 20 учеников любят яблоки!