х²-х-6<0
Чтобы решить неравенство \(x^2 - x - 6 < 0\), начнем с нахождения корней соответствующего уравнения \(x^2 - x - 6 = 0\).
Найдем корни: Для этого используем формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\). У нас \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -6\).
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]
Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2} = -2 \]
Таким образом, корни уравнения: \(x_1 = 3\) и \(x_2 = -2\).
Определим интервалы: Теперь у нас есть корни, которые делят числовую прямую на три интервала:
- \((-\infty, -2)\)
- \((-2, 3)\)
- \((3, +\infty)\)
Проверим знаки на каждом интервале: Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в неравенство \(x^2 - x - 6\):
Для интервала \((-\infty, -2)\), например, \(x = -3\): \[ (-3)^2 - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 > 0 \]
Для интервала \((-2, 3)\), например, \(x = 0\): \[ 0^2 - 0 - 6 = -6 < 0 \]
Для интервала \((3, +\infty)\), например, \(x = 4\): \[ 4^2 - 4 - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 > 0 \]
Записываем итоге: Мы установили, что неравенство \(x^2 - x - 6 < 0\) выполняется на интервале \((-2, 3)\).
Таким образом, решение неравенства \(x^2 - x - 6 < 0\) – это интервал:
\[ (-2, 3) \]
