при каких значениях а равно нулю значение дроби:а) а³-9а общая черта дробь а²+а-12
Чтобы найти значения \( a \), при которых дробь \( \frac{a^3 - 9a}{a^2 + a - 12} \) равна нулю, необходимо рассмотреть числитель дроби. Дробь будет равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Решим уравнение в числителе:
\( a^3 - 9a = 0 \)Мы можем вынести \( a \) за скобки:
\[ a(a^2 - 9) = 0 \]
Далее, \( a^2 - 9 \) можно разложить на множители:
\[ a(a - 3)(a + 3) = 0 \]
Таким образом, у нас есть три решения:
\[ a = 0, \quad a = 3, \quad a = -3 \]
Теперь проверим знаменатель:
Знаменатель равен \( a^2 + a - 12 \). Чтобы он не был равен нулю, решим уравнение:\[ a^2 + a - 12 = 0 \]
Это квадратное уравнение можно решить через дискриминант:
\[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \]
Теперь найдем корни уравнения:
\[ a = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2} \]
Таким образом, корни:
\[ a_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad a_2 = \frac{-8}{2} = -4 \]
Значит, знаменатель равен нулю при \( a = 3 \) и \( a = -4 \).
Итог:
Значения \( a \), при которых дробь равна нулю: \( a = 0 \) и \( a = -3 \). Значение \( a = 3 \) исключается, так как при этом знаменатель также будет равен нулю.
Таким образом, искомые значения: \( a = 0 \) и \( a = -3 \).
