решите неравенство 3x²+10x-8=0

Чтобы решить неравенство \(3x^2 + 10x - 8 = 0\), сначала нам нужно найти корни квадратного уравнения. Для этого воспользуемся дискриминантом.

Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 3\), \(b = 10\), \(c = -8\).

Подставим значения: \[ D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196 \] Так как дискриминант положителен (\(D > 0\)), у уравнения два различных корня.

Теперь находим корни с помощью формулы: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим значения \(b\), \(D\) и \(a\): \[ x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 \pm 14}{6} \]

Теперь находим корни:

1. Первый корень: \[ x_1 = \frac{-10 + 14}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
2. Второй корень: \[ x_2 = \frac{-10 - 14}{6} = \frac{-24}{6} = -4 \]

Теперь мы знаем, что уравнение имеет два корня: \(x_1 = \frac{2}{3}\) и \(x_2 = -4\).

Для решения неравенства необходимо определить знаки выражения \(3x^2 + 10x - 8\) на интервалах, разделенных найденными корнями:

1. \( (-\infty, -4) \)
2. \( (-4, \frac{2}{3}) \)
3. \( (\frac{2}{3}, +\infty) \)

Теперь проверим знак выражения в каждом интервале:

1. Для \(x < -4\) (например, \(x = -5\)): \[ 3(-5)^2 + 10(-5) - 8 = 75 - 50 - 8 = 17 > 0 \]

2. Для \(-4 < x < \frac{2}{3}\) (например, \(x = 0\)): \[ 3(0)^2 + 10(0) - 8 = -8 < 0 \]

3. Для \(x > \frac{2}{3}\) (например, \(x = 1\)): \[ 3(1)^2 + 10(1) - 8 = 3 + 10 - 8 = 5 > 0 \]

Итак, мы определили, что знаки выражения:

• Положительное на интервале \((- \infty, -4)\)
• Отрицательное на интервале \((-4, \frac{2}{3})\)
• Положительное на интервале \((\frac{2}{3}, +\infty)\)

Таким образом, неравенство \(3x^2 + 10x - 8 < 0\) выполняется на интервале: \[ x \in (-4, \frac{2}{3}) \]

Это и есть решение неравенства!