Найти предел: lim 8-x²/x²+4x-12, x -> 2
Чтобы найти предел \(\lim_{x \to 2} \frac{8 - x^2}{x^2 + 4x - 12}\), начнем с подстановки \(x = 2\) в числитель и знаменатель.
Подставим \(x = 2\) в числитель: \[ 8 - 2^2 = 8 - 4 = 4 \]
Теперь подставим \(x = 2\) в знаменатель: \[ 2^2 + 4 \cdot 2 - 12 = 4 + 8 - 12 = 0 \]
Таким образом, получаем неопределенность вида \(\frac{4}{0}\). Это означает, что нам нужно использовать дополнительные шаги для упрощения.
Следующим шагом упростим дробь. Для этого рассмотрим знаменатель \(x^2 + 4x - 12\). Мы можем его факторизовать:
\[ x^2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6) \]
Теперь заменим этот факторизованный вид в нашей дроби:
\[ \frac{8 - x^2}{(x - 2)(x + 6)} \]
Также заметим, что \(8 - x^2\) можно переписать как \(-(x^2 - 8) = -(x - 2)(x + 2)\). Тогда наша дробь примет следующий вид:
\[ \frac{-(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 6)} \]
При \(x \neq 2\) мы можем сократить \((x - 2)\):
\[ \frac{-(x + 2)}{x + 6} \]
Теперь можем снова подставить \(x = 2\):
\[ \frac{-(2 + 2)}{2 + 6} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} \]
Таким образом, предел равен:
\[ \lim_{x \to 2} \frac{8 - x^2}{x^2 + 4x - 12} = -\frac{1}{2} \]
