Найти предел: lim 8-2x²/x²+4x-12 , х -> 2
Для нахождения предела выражения \(\lim_{x \to 2} \frac{8 - 2x^2}{x^2 + 4x - 12}\), следуем следующим шагам:
Подставим \(x = 2\) в функцию:
- В числителе: \(8 - 2(2^2) = 8 - 8 = 0\).
- В знаменателе: \((2^2) + 4(2) - 12 = 4 + 8 - 12 = 0\).
Мы видим, что оба, числитель и знаменатель, равны нулю, что означает, что мы имеем неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Это значит, что нужно упростить выражение.
Попробуем факторизовать числитель и знаменатель.
- Числитель: \(8 - 2x^2\) можно записать как \(-2(x^2 - 4)\), который факторизуется как \(-2(x - 2)(x + 2)\).
- Знаменатель: \(x^2 + 4x - 12\) можно факторизовать, найдя такие числа, произведение которых равно \(-12\), а сумма равна \(4\). Подходящие числа — \(6\) и \(-2\), поэтому \(x^2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6)\).
Теперь можем записать выражение с учетом факторов: \[ \frac{8 - 2x^2}{x^2 + 4x - 12} = \frac{-2(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 6)}. \]
Мы можем сократить \((x - 2)\), но при этом важно учесть, что мы это делаем только для \(x \neq 2\): \[ = \frac{-2(x + 2)}{x + 6}. \]
Теперь подставим \(x = 2\) в упрощенное выражение: \[ = \frac{-2(2 + 2)}{2 + 6} = \frac{-2 \cdot 4}{8} = \frac{-8}{8} = -1. \]
Таким образом, предел равен \(-1\): \[ \lim_{x \to 2} \frac{8 - 2x^2}{x^2 + 4x - 12} = -1. \]
