площадь прямоугольного треугольника ABC равен 180² см.Один из катетов больше другого на 31 см.Найдите катеты прямоугольного треугольника
Чтобы найти катеты прямоугольного треугольника ABC, обозначим один катет как \( x \) см, тогда второй катет будет \( x + 31 \) см, поскольку один из них больше другого на 31 см.
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:
\[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \]
где \( a \) и \( b \) — катеты треугольника. В нашем случае площадь равна 180 см²:
\[ 180 = \frac{1}{2} \times x \times (x + 31) \]
Теперь умножим обе стороны уравнения на 2:
\[ 360 = x \times (x + 31) \]
Раскроем скобки:
\[ 360 = x^2 + 31x \]
Переносим все в одну сторону уравнения:
\[ x^2 + 31x - 360 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 31^2 - 4 \times 1 \times (-360) = 961 + 1440 = 2401 \]
Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-31 \pm \sqrt{2401}}{2 \times 1} \]
Сначала найдем \( \sqrt{2401} \), это равно 49:
\[ x = \frac{-31 \pm 49}{2} \]
Теперь решим оба варианта:
- \( x_1 = \frac{18}{2} = 9 \)
- \( x_2 = \frac{-80}{2} = -40 \) (это невозможно, так как катет не может быть отрицательным)
Таким образом, \( x = 9 \) см. Тогда второй катет:
\[ x + 31 = 9 + 31 = 40 \text{ см.} \]
Итак, катеты прямоугольного треугольника ABC равны 9 см и 40 см.
