(х-6)(х^2-25)>=0

Чтобы решить неравенство \((x - 6)(x^2 - 25) \geq 0\), мы начнем с разложения на множители.

1. Заметим, что \(x^2 - 25\) можно разложить как разность квадратов: \[ x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) \] Таким образом, неравенство можно переписать в следующем виде: \[ (x - 6)(x - 5)(x + 5) \geq 0 \]

2. Теперь найдём нули выражения \((x - 6)(x - 5)(x + 5)\):

   • \(x - 6 = 0\) дает \(x = 6\)
   • \(x - 5 = 0\) дает \(x = 5\)
   • \(x + 5 = 0\) дает \(x = -5\)

3. Теперь обозначим эти значения на числовой прямой и определим интервалы, где произведение будет положительным или равным нулю:

   • Интервалы: \((- \infty, -5)\), \((-5, 5)\), \((5, 6)\), \((6, +\infty)\).

4. Проверим знак выражения на каждом из этих интервалов:

   • Для \(x < -5\), например, \(x = -6\): \((-6 - 6)(-6 - 5)(-6 + 5) = (-12)(-11)(-1) < 0\)
   • Для \(-5 < x < 5\), например, \(x = 0\): \((0 - 6)(0 - 5)(0 + 5) = (-6)(-5)(5) > 0\)
   • Для \(5 < x < 6\), например, \(x = 5.5\): \((5.5 - 6)(5.5 - 5)(5.5 + 5) = (-0.5)(0.5)(10.5) < 0\)
   • Для \(x > 6\), например, \(x = 7\): \((7 - 6)(7 - 5)(7 + 5) = (1)(2)(12) > 0\)

5. Теперь, учитывая нули и знаки на интервалах, мы можем записать решение неравенства:

   • Нули включаются (так как неравенство \(\geq\)): \(x = -5, 5, 6\)
   • Положительные интервалы: \((-5, 5)\) и \((6, +\infty)\)

Таким образом, решение неравенства: \[ x \in [-5, 5] \cup [6, +\infty) \]

Если есть вопросы по решению или потребуется дополнительная помощь, обращайтесь!