При каких значениях a будут равны оба корня x²+4ax+1-2a+4a²=0

Чтобы определить, при каких значениях \( a \) оба корня уравнения \( x^2 + 4ax + 1 - 2a + 4a^2 = 0 \) будут равны, нам необходимо использовать общее свойство квадратных уравнений. Два корня уравнения будут равны, если дискриминант \( D \) равен нулю.

Дискриминант для общего квадратного уравнения \( Ax^2 + Bx + C = 0 \) рассчитывается по формуле:

\[ D = B^2 - 4AC \]

В нашем уравнении:

• \( A = 1 \)
• \( B = 4a \)
• \( C = 1 - 2a + 4a^2 \)

Теперь подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

\[ D = (4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - 2a + 4a^2) \]

Упростим это выражение:

\[ D = 16a^2 - 4(1 - 2a + 4a^2) \] \[ D = 16a^2 - 4 + 8a - 16a^2 \] \[ D = 8a - 4 \]

Чтобы корни были равны, нам нужно, чтобы дискриминант был равен нулю:

\[ 8a - 4 = 0 \]

Решим это уравнение:

\[ 8a = 4 \] \[ a = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]

Таким образом, уравнение \( x^2 + 4ax + 1 - 2a + 4a^2 = 0 \) будет иметь равные корни только при \( a = \frac{1}{2} \).