Докажите что при любом значении переменной верно неравенство а) -9а²+12а-5<0 б) (2а+3)(3а+4,5)+1>0 в) (2а-5)(3а+5)<9а²+2 г) (3а+3)(2а+1)>(2а-1)(а+5)

Question 1

Задача Задача №1453359

А

Аноним

10 сентября 2024 12:31 · публичный вопрос

А

Аноним 10 сентября 2024 12:31

Докажите что при любом значении переменной верно неравенство а) -9а²+12а-5<0 б) (2а+3)(3а+4,5)+1>0 в) (2а-5)(3а+5)<9а²+2 г) (3а+3)(2а+1)>(2а-1)(а+5)

Answer

Давайте разберём каждое из ваших неравенств по порядку.

а) Неравенство \(-9a^2 + 12a - 5 < 0\)

Это квадратичное неравенство. Для его решения нужно найти корни уравнения \(-9a^2 + 12a - 5 = 0\) с помощью дискриминанта.

Найдем дискриминант \(D = b^2 - 4ac\): \[ D = 12^2 - 4 \cdot (-9) \cdot (-5) = 144 - 180 = -36 \] Поскольку дискриминант отрицательный, квадратичное уравнение не имеет действительных корней.
Поскольку коэффициент при \(a^2\) отрицательный (\(-9\)), парабола, описанная этим выражением, открыта вниз и всегда меньше нуля. Следовательно, неравенство \(-9a^2 + 12a - 5 < 0\) верно для любого значения \(a\).

б) Неравенство \((2a + 3)(3a + 4.5) + 1 > 0\)

Решим это неравенство.

Найдём значения, при которых \((2a + 3)(3a + 4.5) = -1\), чтобы определить, где неравенство может меняться: \[ (2a + 3)(3a + 4.5) + 1 = 0 \] Обратите внимание, что оба множителя становятся нулевыми при \(a = -1.5\) (для первого множителя) и \(a = -1.5\) (для второго множителя).
Проверяя, например, значение \(a = 0\): \[ (2 \cdot 0 + 3)(3 \cdot 0 + 4.5) + 1 = 3 \cdot 4.5 + 1 = 13.5 > 0 \] Таким образом, неравенство выполняется для \(a = 0\).

Сходя из этого анализа, неравенство \((2a + 3)(3a + 4.5) + 1 > 0\) верно для всех \(a\).

в) Неравенство \((2a - 5)(3a + 5) < 9a^2 + 2\)

Решим это неравенство.

Раскроем скобки с левой стороны: \[ (2a - 5)(3a + 5) = 6a^2 + 10a - 15a - 25 = 6a^2 - 5a - 25 \] Тогда неравенство принимает вид: \[ 6a^2 - 5a - 25 < 9a^2 + 2 \] Переносим всё в одну сторону: \[ 6a^2 - 5a - 25 - 9a^2 - 2 < 0 \] Приводим подобные: \[ -3a^2 - 5a - 27 < 0 \]
Это выражение — квадратичное с отрицательным ведущим коэффициентом, и оно будет меньше нуля также для всех \(a\), так как парабола открыта вниз.

г) Неравенство \((3a + 3)(2a + 1) > (2a - 1)(a + 5)\)

Раскрываем скобки: \[ 6a^2 + 3a + 6a + 3 > 2a^2 - a + 10a - 5 \] Суммируем каждую сторону: \[ 6a^2 + 9a + 3 > 2a^2 + 9a - 5 \]
Приводим ко всем \(a\) в одну сторону: \[ 6a^2 + 9a + 3 - 2a^2 - 9a + 5 > 0 \] Упрощаем: \[ 4a^2 + 8 > 0 \] Это неравенство всегда верно, поскольку 8 — положительное число для всех \(a\).

Таким образом, все четыре неравенства верны для любого значения переменной \(a\).

Question 2

докажите что при любом значении переменной верно неравенство а) -9а²+12а-5<0 б) (2а+3)(3а+4,5)+1>0 в) (2а-5)(3а+5)<9а²+2 г) (3а+3)(2а+1)>(2а-1)(а+5)

Answer

Давайте разберём каждое из ваших неравенств по порядку. ### а) Неравенство \(-9a^2 + 12a - 5 < 0\) Это квадратичное неравенство. Для его решения нужно найти корни уравнения \(-9a^2 + 12a - 5 = 0\) с помощью дискриминанта. 1. Найдем дискриминант \(D = b^2 - 4ac\): \[ D = 12^2 - 4 \cdot (-9) \cdot (-5) = 144 - 180 = -36 \] Поскольку дискриминант отрицательный, квадратичное уравнение не имеет действительных корней. 2. Поскольку коэффициент при \(a^2\) отрицательный (\(-9\)), парабола, описанная этим выражением, открыта вниз и всегда меньше нуля. Следовательно, неравенство \(-9a^2 + 12a - 5 < 0\) верно для любого значения \(a\). ### б) Неравенство \((2a + 3)(3a + 4.5) + 1 > 0\) Решим это неравенство. 1. Найдём значения, при которых \((2a + 3)(3a + 4.5) = -1\), чтобы определить, где неравенство может меняться: \[ (2a + 3)(3a + 4.5) + 1 = 0 \] Обратите внимание, что оба множителя становятся нулевыми при \(a = -1.5\) (для первого множителя) и \(a = -1.5\) (для второго множителя). 2. Проверяя, например, значение \(a = 0\): \[ (2 \cdot 0 + 3)(3 \cdot 0 + 4.5) + 1 = 3 \cdot 4.5 + 1 = 13.5 > 0 \] Таким образом, неравенство выполняется для \(a = 0\). Сходя из этого анализа, неравенство \((2a + 3)(3a + 4.5) + 1 > 0\) верно для всех \(a\). ### в) Неравенство \((2a - 5)(3a + 5) < 9a^2 + 2\) Решим это неравенство. 1. Раскроем скобки с левой стороны: \[ (2a - 5)(3a + 5) = 6a^2 + 10a - 15a - 25 = 6a^2 - 5a - 25 \] Тогда неравенство принимает вид: \[ 6a^2 - 5a - 25 < 9a^2 + 2 \] Переносим всё в одну сторону: \[ 6a^2 - 5a - 25 - 9a^2 - 2 < 0 \] Приводим подобные: \[ -3a^2 - 5a - 27 < 0 \] 2. Это выражение — квадратичное с отрицательным ведущим коэффициентом, и оно будет меньше нуля также для всех \(a\), так как парабола открыта вниз. ### г) Неравенство \((3a + 3)(2a + 1) > (2a - 1)(a + 5)\) 1. Раскрываем скобки: \[ 6a^2 + 3a + 6a + 3 > 2a^2 - a + 10a - 5 \] Суммируем каждую сторону: \[ 6a^2 + 9a + 3 > 2a^2 + 9a - 5 \] 2. Приводим ко всем \(a\) в одну сторону: \[ 6a^2 + 9a + 3 - 2a^2 - 9a + 5 > 0 \] Упрощаем: \[ 4a^2 + 8 > 0 \] Это неравенство всегда верно, поскольку 8 — положительное число для всех \(a\). Таким образом, все четыре неравенства верны для любого значения переменной \(a\).