(х²-1)²+(х²-6х-7)²=0
Чтобы решить уравнение \((x^2 - 1)^2 + (x^2 - 6x - 7)^2 = 0\), начнем с анализа каждого из квадратов.
Поскольку сумма квадратов не может быть отрицательной, оба слагаемых в уравнении должны равняться нулю. Таким образом, мы можем записать два уравнения:
- \( (x^2 - 1)^2 = 0 \)
- \( (x^2 - 6x - 7)^2 = 0 \)
Решим первое уравнение:
\((x^2 - 1)^2 = 0\) означает, что \(x^2 - 1 = 0\). Это уравнение можно решить:
\[ x^2 = 1 \]
Из этого получаем два значения:
\[ x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1 \]
Теперь решим второе уравнение:
\((x^2 - 6x - 7)^2 = 0\) также означает, что \(x^2 - 6x - 7 = 0\). Чтобы решить это квадратное уравнение, мы применим формулу для корней:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
В нашем случае \(a=1\), \(b=-6\), \(c=-7\):
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1} \]
Сначала вычислим дискриминант:
\[ D = 36 + 28 = 64 \]
Теперь подставим значение дискриминанта в формулу корней:
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2} \]
Это дает нам два решения:
- \(x = \frac{14}{2} = 7\)
- \(x = \frac{-2}{2} = -1\)
Теперь у нас есть четыре решения из двух уравнений:
- \(x = 1\)
- \(x = -1\)
- \(x = 7\)
- \(x = -1\) (уже найденное)
В итоге, уникальные решения этого уравнения:
\[ x = 1, \quad x = -1, \quad x = 7 \]
Таким образом, все корни для уравнения \((x^2 - 1)^2 + (x^2 - 6x - 7)^2 = 0\) – это \(x = 1\), \(x = -1\) и \(x = 7\).
