Ваня разрезал лист ватмана на 2 прямоугольные части. Потом он нашёл, что периметры этих частей равны 70см и 90см. Кроме того, он помнит, что длина большей стороны листа ватмана была равна 30 см. Найдите площадь этого листа

Чтобы решить задачу, давайте сначала обозначим некоторые переменные. Пусть первая часть ватмана имеет размеры \( a_1 \) и \( b_1 \), а вторая часть – размеры \( a_2 \) и \( b_2 \).

Из условия известно, что периметры двух прямоугольников равны 70 см и 90 см. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле:

\[ P = 2(a + b) \]

Для первой части: \[ 2(a_1 + b_1) = 70 \implies a_1 + b_1 = 35 \tag{1} \]

Для второй части: \[ 2(a_2 + b_2) = 90 \implies a_2 + b_2 = 45 \tag{2} \]

Также известно, что длина большей стороны листа ватмана равна 30 см. Предположим, что размер по большей стороне \( L = 30 \) см. У нас есть два прямоугольника, которые были вырезаны, и их стороны могут соответствовать следующему:

• Один из прямоугольников может иметь одну из сторон равной 30 см: \( a_1 = 30 \) или \( a_2 = 30 \).

Случай 1: \( a_1 = 30 \)

Если \( a_1 = 30 \), то из уравнения (1) находим \( b_1 \):

\[ 30 + b_1 = 35 \implies b_1 = 5 \]

Теперь подставим \( a_2 \) и \( b_2 \) из уравнения (2). Поскольку было сказано, что \( a_2 + b_2 = 45 \), есть два варианта для значений \( a_2 \) и \( b_2 \). Пусть \( a_2 \) будет другой стороной, допустим \( a_2 \) не больше 30 см. То есть:

\[ b_2 = 45 - a_2 \tag{3} \]

Мы знаем, что сумма сторон двух прямоугольников не должна превышать большую сторону листа ватмана. Суммируем значения:

\[ b_1 + b_2 = 5 + (45 - a_2) \]

Случай 2: \( a_2 = 30 \)

Если \( a_2 = 30 \), то аналогично:

\[ b_2 = 45 - 30 = 15 \]

И для первой части:

\[ b_1 = 35 - a_1 \tag{4} \]

Площадь

Теперь найдем площадь всего листа ватмана. Площадь прямоугольника рассчитывается по формуле:

\[ S = a \times b \]

Поскольку суммарная длина обеих частей по одной стороне равна 30 см (высота), и сумма двух остальных сторон также равна 35 см + 45 см = 80 см.

Таким образом, площадь \( S \) может быть рассчитана как:

\[ S = L \times (b_1 + b_2) = 30 \times (5 + 15) = 30 \times 20 = 600 \text{ см}^2 \]

Итак, площадь листа ватмана равна 600 см².