х²-6х-7≥0
Чтобы решить неравенство \(x^2 - 6x - 7 \geq 0\), давайте сначала найдем корни соответствующего уравнения \(x^2 - 6x - 7 = 0\).
Для этого используем формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = -7\).
Подставим значения в формулу: \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2} \]
Теперь найдем корни:
- Первый корень: \[ x_1 = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]
- Второй корень: \[ x_2 = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
Теперь у нас есть корни \(x_1 = 7\) и \(x_2 = -1\).
Следующий шаг — определить промежутки, на которых неравенство выполняется. Мы разделим ось \(x\) на интервалы, используя найденные корни:
- \( (-\infty, -1) \)
- \( (-1, 7) \)
- \( (7, +\infty) \)
Теперь будем проверять знаки на каждом из промежутков:
- Для интервала \((- \infty, -1)\) выберем, например, \(x = -2\): \[ (-2)^2 - 6(-2) - 7 = 4 + 12 - 7 = 9 \geq 0 \quad (\text{истина}) \]
- Для интервала \((-1, 7)\) выберем \(x = 0\): \[ 0^2 - 6(0) - 7 = -7 < 0 \quad (\text{ложь}) \]
- Для интервала \((7, +\infty)\) выберем \(x = 8\): \[ 8^2 - 6(8) - 7 = 64 - 48 - 7 = 9 \geq 0 \quad (\text{истина}) \]
Таким образом, условия неравенства выполняются для интервалов:
- \(x \in (-\infty, -1]\)
- \(x \in [7, +\infty)\)
Объединяя результаты, решение неравенства \(x^2 - 6x - 7 \geq 0\) можно записать как: \[ x \in (-\infty, -1] \cup [7, +\infty) \]
Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или нужна помощь с другим материалом, не стесняйтесь спрашивать!
