Решите следующие неравенства приведением в систему линейных неравенств а) (x+4)(2x-3)>0
Давайте решим неравенство \((x+4)(2x-3)>0\) методом разбиения на системы линейных неравенств.
- Найдем нули выражения: Поставим каждую скобку равной нулю:
- \(x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\)
- \(2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}\)
Таким образом, нули функции — это \(x = -4\) и \(x = \frac{3}{2}\).
Построим числовую прямую и отметим нули: \[ \text{-----|------|-----} -4 0 1.5 \]
Этот отрезок делит числовую прямую на три промежутка:
- \( (-\infty, -4) \)
- \( (-4, \frac{3}{2}) \)
- \( (\frac{3}{2}, +\infty) \)
Проверим знак произведения на каждом промежутке:
Для промежутка \((- \infty, -4)\): выберем, например, \(x = -5\): \[ (-5 + 4)(2(-5) - 3) = (-1)(-10 - 3) = (-1)(-13) = 13 > 0 \]
Для промежутка \((-4, \frac{3}{2})\): выберем, например, \(x = 0\): \[ (0 + 4)(2(0) - 3) = (4)(-3) = -12 < 0 \]
Для промежутка \((\frac{3}{2}, +\infty)\): выберем, например, \(x = 2\): \[ (2 + 4)(2(2) - 3) = (6)(4 - 3) = (6)(1) = 6 > 0 \]
Результаты:
- Знак положителен на интервалах \((- \infty, -4)\) и \((\frac{3}{2}, +\infty)\).
- Знак отрицателен на интервале \((-4, \frac{3}{2})\).
Запишем ответ: Неравенство \((x + 4)(2x - 3) > 0\) выполняется для интервалов: \[ x \in (-\infty, -4) \cup \left( \frac{3}{2}, +\infty \right) \]
Этот подход позволяет нам четко увидеть, на каких промежутках выполняется данное неравенство. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
