Доказать что 5^n-4n+15 делится нацело на 16 при любых натуральных значениях n
Для доказательства, что выражение \(5^n - 4n + 15\) делится нацело на 16 при любых натуральных значениях \(n\), воспользуемся методом математической индукции.
Базовый шаг: При \(n = 1\) получаем \(5^1 - 4(1) + 15 = 16\), которое делится нацело на 16.
Предположение индукции: Предположим, что для некоторого \(k\) выражение \(5^k - 4k + 15\) делится нацело на 16.
Индуктивный шаг: Докажем, что выражение \(5^{k+1} - 4(k+1) + 15\) также делится нацело на 16.
Раскроем выражение \(5^{k+1} - 4(k+1) + 15\) следующим образом: \[5^{k+1} - 4(k+1) + 15 = 5 \cdot 5^k - 4k - 4 + 15 = 5(5^k - 4k + 15) - 4\]
Мы знаем, что выражение \(5^k - 4k + 15\) делится нацело на 16 по предположению индукции. Таким образом, оно представимо в виде \(16m\), где \(m\) - некоторое целое число.
Подставив это значение обратно в наше выражение, получаем: \[5(5^k - 4k + 15) - 4 = 5(16m) - 4 = 80m - 4 = 4(20m - 1)\]
Таким образом, мы видим, что \(5^{k+1} - 4(k+1) + 15\) также представимо в виде \(16 \cdot (\text{некоторое целое число})\), что означает, что оно делится нацело на 16.
Таким образом, мы доказали, что выражение \(5^n - 4n + 15\) делится нацело на 16 при любых натуральных значениях \(n\) по методу математической индукции.
