Доведіть, що чотирикутник ABCD вершинам в точках А(-5;-3), B(1,5,) C(9;-1),D(3;-9)є квадратом

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD, заданный координатами A(-5; -3), B(1; 5), C(9; -1) и D(3; -9), является квадратом, нужно выполнить несколько шагов, проверив свойства квадратов.

1. Длина сторон: Все стороны квадрата равны.

Сначала найдем длины сторон AB, BC, CD и DA. Формула для нахождения расстояния между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) следующая:

\[ d = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2} \]

• Найдем AB:

\[ AB = \sqrt{(1 - (-5))^2 + (5 - (-3))^2} = \sqrt{(1 + 5)^2 + (5 + 3)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]

• Найдем BC:

\[ BC = \sqrt{(9 - 1)^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{(9 - 1)^2 + (-6)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \]

• Найдем CD:

\[ CD = \sqrt{(3 - 9)^2 + (-9 - (-1))^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]

• Найдем DA:

\[ DA = \sqrt{(-5 - 3)^2 + (-3 - (-9))^2} = \sqrt{(-8)^2 + (6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \]

Все стороны равны: AB = BC = CD = DA = 10.

2. Проверка углов: Углы квадрата равны 90 градусов. Мы можем проверить это с помощью скалярного произведения векторов.

• Вектор AB = (B - A) = (1 - (-5), 5 - (-3)) = (6, 8)
• Вектор BC = (C - B) = (9 - 1, -1 - 5) = (8, -6)
• Угол A можно выразить через скалярное произведение этих векторов:

\[ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 6 \cdot 8 + 8 \cdot (-6) = 48 - 48 = 0 \]

Так как скалярное произведение равно нулю, это означает, что угол A равен 90 градусам.

Аналогично:

• Проверим угол B, используя векторы BC и CD.
• Вектор CD = (D - C) = (3 - 9, -9 - (-1)) = (-6, -8)

\[ \vec{BC} \cdot \vec{CD} = 8 \cdot (-6) + (-6) \cdot (-8) = -48 + 48 = 0 \]

Это также означает, что угол B равен 90 градусам.

Проверив остальные углы (C и D), можно заключить, что все углы равны 90 градусам.

Таким образом, четырехугольник ABCD является квадратом, так как все стороны равны, и все углы равны 90 градусам.