В прямоугольном треугольнике 1 из углов равен 60°, а сумма гипотенузы меньшего из катетов равна 12,6 см найдите гипотенузу треугольника.
В прямоугольном треугольнике, где один из углов равен 60°, можно использовать тригонометрические функции для решения задачи. Обозначим катеты треугольника как \( a \) (меньший катет) и \( b \) (больший катет), а гипотенузу как \( c \).
В прямоугольном треугольнике с углом 60° мы можем использовать следующую информацию:
Синус и косинус угла 60°:
- \( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- \( \cos(60°) = \frac{1}{2} \)
Если принять \( a \) за меньший катет, то согласно свойствам прямоугольного треугольника и угла 60° можно определить:
- \( c = \frac{a}{\sin(60°)} \)
- При этом \( a = c \cdot \sin(60°) \)
Согласно условиям, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 12,6 см. Обозначим гипотенузу как \( c \). Тогда можно записать:
\[ c + a = 12.6 \]
Подставляем выражение для \( a \):
\[ c + c \cdot \sin(60°) = 12.6 \] \[ c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12.6 \]
Объединим \( c \):
\[ c \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 12.6 \]
Теперь найдем коэффициент:
\[ 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \]
Подставляем это значение в уравнение:
\[ c \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 12.6 \]
Теперь выразим гипотензу \( c \):
\[ c = \frac{12.6 \cdot 2}{2 + \sqrt{3}} \] \[ c = \frac{25.2}{2 + \sqrt{3}} \]
Теперь вычислим значение \( c \). Приблизительно \( \sqrt{3} \approx 1.732 \), тогда:
\[ 2 + \sqrt{3} \approx 3.732 \]
Таким образом:
\[ c \approx \frac{25.2}{3.732} \approx 6.75 \text{ см} \]
Итак, гипотенуза треугольника равна примерно 6.75 см.
