18.22. Сравните: а) (10x) ^ 5 и 10x ^ 5 если х > 0; б) (x/2) ^ 7 и 2' если х > 0; в) (6x) ^ 9 и 6x ^ 9 если х < 0; г) (x/3) ^ 5 и (x ^ 5)/3 если x < 0 .

Давайте сравним каждый из указанных случаев по порядку.

а) (10x) ^ 5 и 10x ^ 5, если x > 0.

Первое выражение можно разложить следующим образом: \[ (10x)^5 = 10^5 \cdot x^5 = 100000 \cdot x^5. \] Второе выражение: \[ 10x^5 = 10 \cdot x^5. \]

Теперь сравним: \[ 100000 \cdot x^5 \text{ и } 10 \cdot x^5. \] Так как x > 0, можем делить на x^5, что даст: \[ 100000 \text{ и } 10. \] Следовательно, \( (10x)^5 > 10x^5 \).

б) (x/2) ^ 7 и 2, если x > 0.

Первое выражение: \[ \left(\frac{x}{2}\right)^7 = \frac{x^7}{2^7} = \frac{x^7}{128}. \]

Теперь сравним: \[ \frac{x^7}{128} \text{ и } 2. \] Умножим обе стороны на 128 (так как 128 > 0): \[ x^7 \text{ и } 256. \] Поскольку x > 0, \(x^7\) будет больше 256, если \(x > 2\). Таким образом:

• Если x > 2, то \(\left(\frac{x}{2}\right)^7 > 2\).
• Если 0 < x ≤ 2, то \(\left(\frac{x}{2}\right)^7 < 2\).

в) (6x) ^ 9 и 6x ^ 9, если x < 0.

Первое выражение: \[ (6x)^9 = 6^9 \cdot x^9. \] Второе выражение: \[ 6x^9. \] Сравниваем: \[ 6^9 \cdot x^9 \text{ и } 6 \cdot x^9. \] Снова можем делить на \(x^9\) (так как x < 0, то x^9 < 0), и получаем: \[ 6^9 \text{ и } 6. \] Так как \(6^9\) намного больше 6, то \( (6x)^9 < 6x^9\).

г) (x/3) ^ 5 и (x ^ 5)/3, если x < 0.

Первое выражение: \[ \left(\frac{x}{3}\right)^5 = \frac{x^5}{3^5} = \frac{x^5}{243}. \]

Теперь второе выражение остаётся: \[ \frac{x^5}{3}. \] Сравниваем: \[ \frac{x^5}{243} \text{ и } \frac{x^5}{3}. \] Так как x < 0, теперь мы можем делить обе стороны на \(x^5\): \[ \frac{1}{243} \text{ и } \frac{1}{3}. \] Поскольку \(\frac{1}{243} \text{ меньше } \frac{1}{3}\), получается, что \(\left(\frac{x}{3}\right)^5 < \frac{x^5}{3}\).

Таким образом, результаты сравнения могут быть изложены следующим образом:

• а) \( (10x)^5 > 10x^5 \)
• б) зависит от значения x (если x > 2, то \( (x/2)^7 > 2 \), иначе \( (x/2)^7 < 2 \))
• в) \( (6x)^9 < 6x^9 \)
• г) \( (x/3)^5 < \frac{x^5}{3} \)

Если у вас есть дополнительные вопросы или нуждаетесь в разъяснениях, не стесняйтесь задавать!