решите неравенство графически х²+2х-48<=0
Чтобы решить неравенство \( x^2 + 2x - 48 \leq 0 \) графически, выполните следующие шаги:
Найдите корни уравнения: Для этого необходимо решить квадратное уравнение \( x^2 + 2x - 48 = 0 \) с помощью формулы корней для квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -48 \).
Подставляем значения: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 \pm 14}{2} \]
Таким образом, получаем: \[ x_1 = \frac{12}{2} = 6, \quad x_2 = \frac{-16}{2} = -8 \]
Постройте график функции: График функции \( y = x^2 + 2x - 48 \) представляет собой параболу, открывающуюся вверх. Корни \( x_1 = 6 \) и \( x_2 = -8 \) являются точками, в которых функция равна нулю (пересекает ось \( x \)).
Определите интервалы: Четыре ключевых точки делят ось \( x \) на три интервала:
- \( (-\infty, -8) \)
- \( [-8, 6] \)
- \( (6, +\infty) \)
Проверьте знак функции в каждом интервале:
- Для первого интервала, например, \( x = -9 \): \( y = (-9)^2 + 2(-9) - 48 = 81 - 18 - 48 = 15 > 0 \) (положительно).
- Для второго интервала, например, \( x = 0 \): \( y = 0^2 + 2(0) - 48 = -48 < 0 \) (отрицательно).
- Для третьего интервала, например, \( x = 7 \): \( y = 7^2 + 2(7) - 48 = 49 + 14 - 48 = 15 > 0 \) (положительно).
Составьте итоговый ответ: Функция \( y \) принимает неотрицательные значения на интервале \( [-8, 6] \). Таким образом, решение неравенства \( x^2 + 2x - 48 \leq 0 \): \[ x \in [-8, 6] \]
Графически это будет представлено как отрезок на оси \( x \) от -8 до 6, включая концы.
