(a-2b)³-(a+b)²(a-8b) =27ab²

Чтобы решить уравнение \((a-2b)^3 - (a+b)^2(a-8b) = 27ab^2\), давайте разложим его на составляющие и упростим.

1. Раскроем куб: \((a - 2b)^3 = a^3 - 3a^2(2b) + 3a(2b)^2 - (2b)^3 = a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3\).

2. Раскроем квадрат: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

3. Теперь перемножим \((a + b)^2\) и \((a - 8b)\): \((a + b)^2(a - 8b) = (a^2 + 2ab + b^2)(a - 8b)\).

   Это произведение раскроется следующим образом:

   • \(a^2 \cdot a = a^3\),
   • \(a^2 \cdot (-8b) = -8a^2b\),
   • \(2ab \cdot a = 2a^2b\),
   • \(2ab \cdot (-8b) = -16ab^2\),
   • \(b^2 \cdot a = ab^2\),
   • \(b^2 \cdot (-8b) = -8b^3\).

   Складывая все слагаемые, получаем: \[ a^3 - 6a^2b - 15ab^2 - 8b^3. \]

4. Теперь подставим обе части обратно в уравнение: \[ a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3 - (a^3 - 6a^2b - 15ab^2 - 8b^3) = 27ab^2. \]

   Упрощая: \[ 12ab^2 + 15ab^2 = 27ab^2. \]

Теперь уравнение сводится к истинному утверждению. Это значит, что равенство верно для всех значений \(a\) и \(b\).

Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или другим математическим уравнениям, feel free to ask!