x^2/x-2 -15/x^2+x-6 + x/x+3=x
Чтобы решить уравнение
\[ \frac{x^2}{x-2} - \frac{15}{x^2+x-6} + \frac{x}{x+3} = x, \]
давайте начнем с упрощения выражений в уравнении.
Сначала разложим знаменатель второго дробного выражения \(x^2 + x - 6\). Это выражение можно разложить на множители:
\[ x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3). \]
Таким образом, второе выражение становится:
\[ \frac{15}{(x - 2)(x + 3)}. \]
Теперь мы можем переписать уравнение в следующем виде:
\[ \frac{x^2}{x-2} - \frac{15}{(x-2)(x+3)} + \frac{x}{x+3} = x. \]
Теперь мы найдем общий знаменатель для первых трех дробей. Общим знаменателем будет \((x - 2)(x + 3)\). Приведем все дроби к этому знаменателю:
- Первая дробь:
\[ \frac{x^2}{x - 2} = \frac{x^2(x + 3)}{(x - 2)(x + 3)} = \frac{x^3 + 3x^2}{(x - 2)(x + 3)}. \]
- Вторая дробь уже имеет нужный знаменатель:
\[ -\frac{15}{(x - 2)(x + 3)}. \]
- Третья дробь:
\[ \frac{x}{x + 3} = \frac{x(x - 2)}{(x + 3)(x - 2)} = \frac{x^2 - 2x}{(x - 2)(x + 3)}. \]
Теперь можем объединить все дроби:
\[ \frac{x^3 + 3x^2 - 15 + x^2 - 2x}{(x - 2)(x + 3)} = x. \]
Соберем числитель:
\[ x^3 + 4x^2 - 2x - 15 = x(x - 2)(x + 3). \]
На правой стороне у нас:
\[ x(x - 2)(x + 3) = x(x^2 + x - 6) = x^3 + x^2 - 6x. \]
Теперь мы можем собрать уравнение:
\[ x^3 + 4x^2 - 2x - 15 = x^3 + x^2 - 6x. \]
Упрощаем, равняем обе стороны и переносим все на одну сторону:
\[ 4x^2 - 2x - 15 - x^2 + 6x = 0, \]
что дает:
\[ 3x^2 + 4x - 15 = 0. \]
Теперь мы можем использовать дискриминант, чтобы решить это квадратичное уравнение:
\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 16 + 180 = 196. \]
Теперь вычисляем корни уравнения по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 14}{6}. \]
Таким образом, получаем два корня:
- \(x_1 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\),
- \(x_2 = \frac{-18}{6} = -3\).
Следует проверить, не равны ли корни значениям, при которых знаменатель обнуляется, то есть \(x \neq 2\) и \(x \neq -3\). Поскольку один из корней равен -3, он не является допустимым решением.
Окончательное решение:
\[ x = \frac{5}{3}. \]
