F(x) =x^2-4√x

Чтобы проанализировать функцию \( f(x) = x^2 - 4\sqrt{x} \), давайте начнем с определения области определения функции и её свойств.

1. Область определения: Поскольку у нас есть радикал \(\sqrt{x}\), требуется, чтобы \(x\) было неотрицательным. Таким образом, область определения функции: \( x \geq 0 \).

2. Преобразование функции: Мы можем упростить выражение, если введем новую переменную \( y = \sqrt{x} \). Тогда \( x = y^2 \), и функция преобразуется следующим образом: \[ f(y) = (y^2)^2 - 4y = y^4 - 4y. \]

3. Нахождение производной: Теперь найдем первую производную \( f'(y) \), чтобы определить критические точки: \[ f'(y) = 4y^3 - 4. \] Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: \[ 4y^3 - 4 = 0 \implies y^3 = 1 \implies y = 1. \]

4. Исследование знаков производной:

   • \( f'(y) < 0 \) для \( y < 1 \)
   • \( f'(y) > 0 \) для \( y > 1 \)

Это указывает на то, что функция достигает минимума при \( y = 1 \).

5. Нахождение значения функции в критической точке: Подставим \( y = 1 \) обратно в преобразованную функцию: \[ f(1) = 1^4 - 4 \cdot 1 = 1 - 4 = -3. \]

6. График функции: Теперь, вернувшись к переменной \( x \), мы можем сказать, что при \( x = 1 \) функция \( f(x) \) достигает минимального значения -3.

Таким образом, функция \( f(x) = x^2 - 4\sqrt{x} \) имеет минимальное значение -3 при \( x = 1 \) и убывает на интервале \( [0, 1] \), после чего начинает возрастать на \( [1, \infty) \).

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужна помощь в других темах, не стесняйтесь спрашивать!